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Geschichte

Die Theorie der   Operatorräume entwickelte sich aus der Untersuchung von   vollständig positiven und   vollständig beschränkten Abbildungen. Diese Abbildungen wurden zunächst auf C*-Algebren untersucht, später dann auf geeigneten Unterräumen von C*-Algebren. Für solche Abbildungen mit Werten in   ${B(\mathcal{H})}$ wurden Darstellungs- und Fortsetzungssätze bewiesen [Sti55], [Arv69], [Haa80], [Wit81], [Pau82]. Viele Eigenschaften vollständig positiver Abbildungen lassen sich auf   Operatorsysteme übertragen [CE77]. Operatorsysteme bieten eine abstrakte Beschreibung der Ordnungsstruktur von selbstadjungierten, unitalen Unterräumen von C*-Algebren. In Paulsens Monographie [Pau86] werden viele Anwendungen vollständig beschränkter Abbildungen auf die Operatorentheorie zusammengefaßt. Die Fortsetzungs- und Darstellungssätze für vollständig beschränkte Abbildungen zeigen, daß Unterräume von C*-Algebren eine innere metrische Struktur tragen, die unter vollständigen Isometrien erhalten bleibt. Diese Struktur wurde in der Form des Operratorraumes von Ruan axiomatisch gefaßt [Rua88]. Ganz wie die Theorie der C*-Algebren als   nichtkommutative Topologie, die Theorie der von Neumann-Algebren als nichtkommutative Maßtheorie betrachtet werden kann, so läßt sich die Theorie der Operatorräume als nichtkommutative Funktionalanalysis auffassen.

Dieses Programm wurde im Rahmen des   ICM 1986 von E.G. Effros [Eff87] der mathematischen Öffentlichkeit präsentiert. Die Entwicklung der Theorie läßt sich an den folgenden Übersichtsartikeln nachzeichnen: [CS89], [MP94], [Pis97].


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Lehrstuhl Prof. Dr. Gerd Wittstock
1999-09-04