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Die Theorie der
Operatorräume entwickelte sich aus der Untersuchung von
vollständig positiven
und
vollständig beschränkten Abbildungen. Diese Abbildungen wurden zunächst auf
C*-Algebren untersucht, später dann auf geeigneten Unterräumen von
C*-Algebren. Für solche Abbildungen mit Werten in
wurden Darstellungs- und Fortsetzungssätze
bewiesen [Sti55], [Arv69], [Haa80], [Wit81], [Pau82].
Viele Eigenschaften
vollständig positiver Abbildungen lassen sich auf
Operatorsysteme übertragen [CE77].
Operatorsysteme bieten eine abstrakte Beschreibung der Ordnungsstruktur von selbstadjungierten, unitalen Unterräumen von
C*-Algebren. In Paulsens Monographie [Pau86] werden viele Anwendungen vollständig beschränkter Abbildungen
auf die Operatorentheorie zusammengefaßt.
Die Fortsetzungs- und Darstellungssätze für vollständig beschränkte Abbildungen zeigen, daß Unterräume von
C*-Algebren eine innere metrische Struktur tragen, die unter vollständigen Isometrien erhalten bleibt.
Diese Struktur wurde in der Form des Operratorraumes von
Ruan axiomatisch gefaßt [Rua88].
Ganz wie die Theorie der C*-Algebren als
nichtkommutative Topologie,
die Theorie der von Neumann-Algebren als nichtkommutative Maßtheorie betrachtet werden kann,
so läßt sich die Theorie der Operatorräume als nichtkommutative Funktionalanalysis auffassen.
Dieses Programm wurde im Rahmen des
ICM 1986 von E.G. Effros [Eff87] der mathematischen Öffentlichkeit präsentiert.
Die Entwicklung der Theorie läßt sich an
den folgenden Übersichtsartikeln nachzeichnen: [CS89], [MP94], [Pis97].
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Lehrstuhl Prof. Dr. Gerd Wittstock
1999-09-04