Vollständige Beschränktheit

Für die Definition der  vollständig beschränkten bilinearen Abbildungen brauchen wir die Amplifikation $\Phi^{(n)}$, und die Linearisierung $\tilde\Phi : X \otimes Y \rightarrow Z$. und die tensorielle Matrixmultiplikation $x \odot y$ von Operatormatrizen x, y.

Eine bilineare Abbildung $\Phi: X \times Y \rightarrow Z$, $n\in{\mathbb{N} }$ heißt vollständig beschränkt, wenn  

$$\Vert\Phi\Vert _\mathrm{cb}:= \sup \Vert \Phi^{(n)}(x, y)\Vert < \infty,$$

wobei $n\in{\mathbb{N} }$, $x \in \mathrm{Ball}(M_{n}(X))$, $y \in \mathrm{Ball}(M_{n}(Y))$ sind.

Die Norm $\Vert\Phi\Vert _\mathrm{cb}$ ist gleich der Norm $\Vert\tilde\Phi\Vert _\mathrm{cb}$ der Linearisierung

$$\tilde\Phi : X \otimes_h Y \rightarrow Z$$

auf dem Haagerup-Tensorprodukt.

 Ferner bilden wir die Normen $\Vert\Phi\Vert _n$ über die tensoriellen Matrixprodukte aller³⁹ rechteckigen Matrizen mit n Zeilen bzw. n Spalten:  

$$\Vert\Phi\Vert _n := \sup \Vert \Phi^{(n,l)}(x , y)\Vert,$$

wobei $l \in {\mathbb{N} }$, $x \in \mathrm{Ball}(M_{n,l}(X))$, $y \in \mathrm{Ball}(M_{l,n}(Y))$ sind.

Es gilt

$$\Vert\Phi\Vert _\mathrm{cb}= \sup \left\{ \Vert\Phi\Vert _n \ : \ n \in {\mathbb{N} }\right\}.$$

Die Norm $\Vert\Phi\Vert _n$ ist gleich der Norm $\Vert\tilde\Phi^{(n)}\Vert$ der Amplifikation der Linearisierung

$$\tilde\Phi^{(n)} : M_n(X \otimes_h Y) \rightarrow M_n(Z)$$

auf dem Haagerup-Tensorprodukt.

Eine Bilinearform $\Phi$ ist bereits vollständig beschränkt, wenn $\Vert\Phi\Vert _1 < \infty$ ist. Dann ist $\Vert\Phi\Vert _\mathrm{cb}= \Vert\Phi\Vert _1$. ⁴⁰

$\mathit{CB}(X \times Y; Z)$   bezeichnet den Operatorraum der vollständig beschränkten bilinearen Abbildungen. Die Matrizenstufen werden durch die Identifizierung

$$M_n(\mathit{CB}(X \times Y;Z)) = \mathit{CB}(X \times Y; {\mathbb{M} }_n(Z))$$

normiert.

Den vollständig beschränkten bilinearen Abbildungen entsprechen die vollständig beschränkten linearen Abbildungen des Haagerup-Tensorproduktes . Es gilt vollständig isometrisch

$$\mathit{CB}(X \times Y; Z) \stackrel{\mathrm{cb}}{=}\mathit{CB}(X \otimes_h Y; Z).$$

Vollständig beschränkte bilineare Abbildungen sind allgemein vollständig beschränkt. Die Einbettung $\mathit{CB}(X \times Y; Z) \subset \mathit{JCB}(X \times Y;Z)$ ist vollständig kontrahierend.

Die Transponierte     $\Phi^t(y,x) := \Phi(x,y)$ einer vollständig beschränkten bilinearen Abbildung $\Phi$ ist im allgemeinen nicht vollständig beschränkt. ⁴¹ Für vollständig beschränkte bilineare (und allgemeiner multilineare) Abbildungen $\Phi \in \mathit{CB}(A \times B; B(\mathcal{H}))$ gibt es Verallgemeinerungen des Darstellungssatzes von Stinespring.