...$y\in M_m(X)$.¹

Folgende zwei schwächere Axiomatisierungen sind zu dieser äquivalent:

$\Vert\alpha x\beta\Vert\leqslant\Vert\alpha\Vert\Vert x\Vert\Vert\beta\Vert$ für alle $x\in M_n(X)$, $\alpha\in M_{n}$, $\beta\in M_{n}$,
$\Vert x\oplus y\Vert=\max\{\Vert x\Vert,\Vert y\Vert\}$ für alle $x\in M_n(X)$, $y\in M_m(X)$,

wie in der Literatur häufig gefordert wird, sowie

$\Vert\alpha x\beta\Vert\leqslant\Vert\alpha\Vert\Vert x\Vert\Vert\beta\Vert$ für alle $x\in M_n(X)$, $\alpha\in M_{m,n}$, $\beta\in M_{n,m}$,
$\Vert x\oplus y\Vert\leqslant\max\{\Vert x\Vert,\Vert y\Vert\}$ für alle $x\in M_n(X)$, $y\in M_m(X)$,

was in der Konvexitätstheorie gewisse Vorteile bietet.

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... NAME="def:Operatorraum"> Operatorraum²

Die Begriffe matrixnormierter Raum und Operatorraum werden in der Literatur zum Teil anders und nicht ganz einheitlich verwandt. Wir schlagen die hier erstmals so gebrauchte Terminologie vor in Analogie zu normierter Raum und Banachraum.

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......).³

In der Literatur wird der normierte Raum M₁(X), die Grundstufe, meist ebenfalls mit X bezeichnet. Wir meinen, daß eine genauere Unterscheidung manchmal hilfreich ist.

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... sind.⁴

Das heißt: $\Vert\Phi^{(n)}(x)\Vert=\Vert x\Vert$ für alle $n\in{\mathbb{N} }$, $x\in M_n(X)$.

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... sind.⁵

Das heißt: $\Phi^{(n)}(\mathrm{Ball}^\circ M_n(X))=\mathrm{Ball}^\circ M_n(Y)$ für alle $n\in{\mathbb{N} }$. Dabei ist $\mathrm{Ball}^\circ M_n(X) = \{x\in M_n(X)\;\vert\;\Vert x\Vert< 1\}$.

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... formulieren.⁶

Die Normen auf den Matrizenstufen M_n(X) werden zu einer Abbildung $M(X)\to{\mathbb{R} }$. Die Amplifikationen von $\Phi:X\to Y$ kann man zu einer einzigen Abbildung $\Phi:M(X)\to M(Y)$ zusammenfassen. Es ist

$$\Vert\Phi\Vert _{\mathrm{cb}}=\sup\{\Vert\Phi(x)\Vert\;\vert\;x\in M(X),\;\Vert x\Vert\leqslant 1\}\mbox{.}$$

$\Phi$ ist vollständig isometrisch, falls $\Vert\Phi(x)\Vert=\Vert x\Vert$ für alle $x\in M(X)$, und $\Phi$ ist eine vollständige Quotientenabbildung, falls $\Phi(\mathrm{Ball}^\circ X)=\mathrm{Ball}^\circ Y$. Dabei ist $\mathrm{Ball}^\circ X = \{x\in M(X)\;\vert\;\Vert x\Vert< 1\}$.

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... wir⁷

In der Literatur wird meist das Symbol M_p(X) sowohl für den Operatorraum mit Grundstufe M_p(X) als auch für die p-te Stufe des Operatorraumes X verwendet. Wir meinen aber, daß die Unterscheidung von ${\mathbb{M} }_p(X)$ und M_p(X) hilfreich ist, z.B. bei der Definition der Operatorraumstruktur von CB(X,Y).

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... NAME="def:dual"> Dual⁸

In der Literatur findet sich mitunter der Begriff   Standarddual [Ble92a].

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....⁹

Die Norm eines matrixnormierten Raumes X ist durch die Einheitskugel $\mathrm{Ball}X\subset M(X)$ bestimmt. Es gilt: $\mathrm{Ball}X^*=\left\{\Phi:X\to M_n\;\vert\;n\in {\mathbb{N} },\;\Phi\mbox{ vollst\uml {a}ndig kontrahierend}\right\}$.

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... 2.5]¹⁰

Daraus folgt die vollständige Isometrie via

$$M_k({\mathbb{M} }_n(X)^{**})=M_k(M_n(X))^{**}=M_{kn}(X)^{**}=M_{kn}(X^{**})=M_k({\mathbb{M} }_n(X^{**})) \mbox{.}$$

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... folgt¹¹

Unter Benutzung obiger Formel

$$\Vert T\Vert _{\mathrm{cb}}=\sup\{\Vert\Phi^{(n)}T\Vert _{\ma... ...{M} }_n),\; \Vert\Phi\Vert _{\mathrm{cb}}\leqslant 1\} \mbox{.}$$

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... 1.1].¹²

Die Isometrie auf den Matrizenstufen folgt aus der Isometrie auf der Grundstufe und der obigen Formel $\mathit{CB}({\mathbb{M} }_n(X)^*,Y)\stackrel{\mathrm{cb}}{=}\mathit{CB}(X^*,{\mathbb{M} }_n(Y))$:

$$M_n(\mathit{CB}(X,Y))=M_1(\mathit{CB}(X,{\mathbb{M} }_n(Y)))\... ...Y^*,{\mathbb{M} }_n(X^*)))= M_n(\mathit{CB}(Y^*,X^*)) \mbox{.}$$

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...:¹³

$\mathit{MAX}$ ist also die Linksadjungierte und $\mathit{MIN}$ die Rechtsadjungierte des Vergißfunktors, der einem Operatorraum X den Banachraum M₁(X) zuordnet.

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... 2.13].¹⁴

Paulsen baut seinen Beweis auf einer falschen Abschätzung für die Projektionskonstante des endlichdimensionalen Hilbertraums; die umgekehrte Abschätzung ist richtig [Woj91, p. 120], aber dort nutzlos. Die Lücke füllt sich dennoch leicht [Lam97, Thm. 2.2.15], durch das Einbringen des berühmten Satzes von Kadets-Snobar: Die Projektionskonstante eines n-dimensionalen Banachraums ist kleinergleich $\sqrt{n}$ [KS71].

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... treten¹⁵

Philologische Fußnote: Der Autor ist sich der philosophischen Tragweite seiner Ausdrucksweise, die in dem Prädikat ,,zutage treten`` zutage tritt, in aller Konsequenz bewußt und weiß sich im Spannungsfeld zwischen reinem Konstruktivismus und platonisch fundiertem Realismus. Um an dieser Stelle seine Position, welche die Mathematik als eine in der Tat partiell real existente, zugleich aber vom denkenden Individuum entworfene Wissenschaft begreift, klar zutage treten zu lassen, sei denn im folgenden in stetem Bezug auf das unter ,,Matière à pensée`` publizierte Gespräch zwischen Alain Connes und Jean-Pierre Changeux [CC92] das von ihm favorisierte Bild der Mathematik in kurzen Strichen skizziert.

In der Sicht Alain Connes' stellt die Mathematik eine vom Menschen unabhängige, wenngleich geistige, so doch gleichsam greifbare Wirklichkeit dar, die in ihrer ontologischen Basis der platonischen Ideenwelt vergleichbar ist. Connes bekennt sich somit zu einem beinahe radikal zu nennenden Realismus; die Aufgabe des Mathematikers besteht hiernach, pointiert formuliert, einzig und allein darin, die vorhandene ,,harte Realität`` zu entdecken.

Jean-Pierre Changeux setzt diesem das Bild des rein erfindenden Denkers entgegen. In den Augen des Neurobiologen existiert die von Alain Connes als realiter vorfindbar beschriebene und als solche dem Forscher erfahrbare Welt lediglich in den Hirnwindungen, in den Synapsen besagten Denkers. Diese konstruktivistische Perspektive versteht Mathematik als reine Fiktion und ersetzt die platonische Ontologie gleichsam durch biologische Substanz.

Der Verfasser nun wagt es weder, einer der beiden Positionen vollends zu widersprechen, noch aber vermag er sich ihrer Radikalität anzuschließen. Er folgt vielmehr einem Kompromiß zwischen beiden Ansätzen, welchen der in seinem Verständnis fundamentale Punkt der Axiomatik stiftet. Für ihn ist Mathematik in und bis zum (vorläufigen) Abschluß der Axiomatik in sich kohärente Erfindung, wobei einzig die Logik der Fiktion die Schranken weist, in dem Maße wie sie als Garant der inneren Kohärenz auftritt - den Schlußpunkt der Axiomatik freilich setzt zunächst desgleichen die freie Erfindung.

Unter diesen Prämissen gibt es prinzipiell viele verschiedene ,,Mathematiken``: quot capita, tot senses.

Ist jedoch einmal das axiomatische Fundament gelegt, so bleibt dem Forscher allein, die hierdurch erschaffene, obschon dem Schöpfer selbst noch unbekannte Welt zu erkunden: er kann nur noch entdecken, was er schon geschaffen, dieses Descartessche ,,Spiel des menschlichen Geistes mit sich selbst`` spielen, dessen Regeln er selbst aufgestellt hat. - Auf eine genaue Definition, also Abgrenzung, der Begriffe ,,Regel``, ,,Postulat`` sowie ,,Axiom`` wird hier aus Platzgründen bewußt verzichtet.

Endlich lehrt uns Gödel, daß auch dieses Spiel seinerseits sich einem Wechselspiel zwischen Erfinden und Entdecken unterordnet, insofern als gewisse Entdeckungen weitere Axiome fordern, die ihrerseits neue Entdeckungen hervorbringen. Ein wechselseitig sich bedingender und befruchtender Dualismus zwischen Konstruktivismus und Realismus zeichnet so ein in stetem Wandel begriffenes Bild der Mathematik.

Abschließend sei folgendem Vermerk noch Raum gegriffen, daß die hier vertretene Sicht der Mathematik ex post greift; sie weiß sich ahistorisch.

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... gebildet.¹⁶

Es bezeichne M_* den (eindeutigen) Prädual von M. Dann gilt die $\ell_1$-direkte Summen-Zerlegung

$$M^* = M_* \oplus_{\ell_1} (M^*)^{s}$$

in normale (d.h. w^*-stetige) und singuläre Funktionale. [In der Literatur findet man $M_*^{\perp}$ statt M^*s, passend zu $M_*(=M^{*\sigma})$.] Analog heißt $\Phi \in B(M,N)$, M, N von Neumann-Algebren, normal (d.h. w^*-w^*-stetig), falls $\Phi^*(N_*) \subset M_*$, und singulär, falls $\Phi^*(N_*) \subset M^{*s}$.

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... Amplifikation¹⁷

In der Literatur, etwa [BRS90, p. 190], wird häufig die bilineare Amplifikation $\Phi^{(n,n)}$ als die Amplifikation bezeichnet und mit $\Phi^{(n)}$ notiert.

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...$\Vert\Phi\Vert _{\mathrm{cb}} \le 1$.¹⁸

Zur Erklärung der vollständigen Beschränktheit von bilinearen Abbildungen genügt es, nur die $\Phi^{(n,n)}$ statt aller $\Phi^{(n,l)}$ zu betrachten; dies findet man häufig in der Literatur über vollständig beschränkte bi- und analog multilineare Abbildungen [BRS90, p. 190], [CES87, p. 281].

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... ¹⁹

Zur Bildung der Operatorräume $O\ell_p$ siehe das Kapitel über komplexe Interpolation .

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...öbste²⁰

D.h., die injektive Operatorraum-Tensornorm ist die kleinste Operatorraum-Tensornorm.

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... feinste²¹

D.h., die projektive Operatorraum-Tensornorm ist die größte Operatorraum-Tensornorm.

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... ²²

D.h., wenn $[S_{ij}] \in M_p(\mathit{CB}(X_1,X_2))$, $[T_{kl}] \in M_q(\mathit{CB}(Y_1,Y_2))$, $p,q \in {\mathbb{N} }$, so gilt für den Operator

$$[S_{ij} \otimes_\alpha T_{kl}] \in M_{pq}(\mathit{CB}(X_1 \otimes_\alpha Y_1, X_2 \otimes_\alpha Y_2))$$

die Normabschätzung

$$\Vert [S_{ij} \otimes T_{kl}] \Vert _\mathrm{cb} \leq \Vert... ...] \Vert _\mathrm{cb}\Vert [T_{kl}] \Vert _\mathrm{cb}\mbox{.}$$

Anmerkung: Hierin gilt sogar die Gleichheit.

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... ersetzen.²³

(2) $\Rightarrow$(3),(4): Die Bedingung (3) ist ein Spezialfall von (2). Es seien $I \in M_p(\mathit{CB}({\mathbb{M} }_p(X),X))$, $J \in M_q(\mathit{CB}({\mathbb{M} }_q(Y),Y))$ Matrizen, die algebraisch die identischen Abbildungen der zugrundeliegenden Vektorräume M_p(X) bzw. M_q(Y) sind. Nach Voraussetzung (2) gilt

$$\begin{eqnarray*}I \otimes_\alpha J &\in& M_{pq}(\mathit{CB}({\mathbb{M} }_p... ... &\leq& \Vert I\Vert _\mathrm{cb}\Vert J\Vert _\mathrm{cb}= 1. \end{eqnarray*}$$

Nun ist $I \otimes_\alpha J: {\mathbb{M} }_p(X) \otimes_\alpha {\mathbb{M} }_q(Y) \rightarrow {\mathbb{M} }_{pq}(X \otimes _\alpha Y)$ die shuffle-Abbildung aus (4).

(3),(4) $\Rightarrow$(2): Wenn $[S_{ij}] \in M_p(\mathit{CB}(X_1,X_2))$, $[T_{kl}] \in M_q(\mathit{CB}(Y_1,Y_2))$, $p,q \in {\mathbb{N} }$, so seien $S \in \mathit{CB}(X_1, {\mathbb{M} }_p(X_2))$, $T \in \mathit{CB}(Y_1, {\mathbb{M} }_q(Y_2))$ die entsprechenden Operatoren. Nach (3) gilt

$$\begin{eqnarray*}S \otimes_\alpha T &\in& \mathit{CB}(X_1 \otimes_\alpha Y_1, ... ...t [S_{ij}] \Vert _\mathrm{cb}\Vert [T_{kl}] \Vert _\mathrm{cb}. \end{eqnarray*}$$

Wenden wir nun die shuffle-Abbildung $A :{\mathbb{M} }_p(X_2) \otimes_\alpha {\mathbb{M} }_q(Y_2) \rightarrow {\mathbb{M} }_{pq}(X_2 \otimes_\alpha Y_2)$ an, so folgt aus (4)

$$\begin{eqnarray*}[S_{ij} \otimes_\alpha T_{kl}]= A (S \otimes_\alpha T) &\in& ... ...t [S_{ij}] \Vert _\mathrm{cb}\Vert [T_{kl}] \Vert _\mathrm{cb}. \end{eqnarray*}$$

Also ist $\otimes_{\alpha}$ allgemein vollständig kontrahierend.

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... (i)-(iii).²⁴

Äquivalent zu (i)-(iii) ist, daß die bilinearen Abbildungen

$$\begin{eqnarray*}X \times Y \rightarrow X \otimes_\alpha Y, && (x,y) \mapsto x... ...s_\alpha Y)^*, && (\varphi,\psi) \mapsto \varphi \otimes \psi \end{eqnarray*}$$

allgemein vollständig kontrahierend sind.

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... NAME="sec:injektivesORTP"> injektives²⁵

Andere Bezeichnungen sind räumliches Operatorraum-Tensorprodukt $X \otimes_{\mathrm{min}} Y$ .

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...)=1.²⁶

Eine Charakterisierung exakter C^*-Algebren findet sich in [Kir94] und [Kir95].

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... definieren²⁷

Die Abkürzung SK steht für Subspaces of $K({\cal H})$

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...dukt²⁸

Wenn $M \subset B(\mathcal{H})$, $N \subset B(\mathcal{K})$ von Neumann-Algebren sind, dann ist $M \overline{\otimes}N$ der Abschluß des algebraischen Tensorproduktes $M \otimes N \subset B(\mathcal{H}\otimes_2 \mathcal{K})$ in der schwachen Operatortopologie.

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...H-Tensorproduktes ²⁹

Diese Tensornorm ist auch als $\gamma_2$ bekannt [Pis86].

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...$u \in M_n(X \otimes_h Y)$:³⁰

Die Definition der tensoriellen Matrixmultiplikation $\varphi \odot \psi$ von Abbildungen $\varphi$, $\psi$ und der der Amplifikation der Dualität von Tensorprodukten ergibt

$$(\varphi \odot \psi)(x \otimes y)= \langle x \otimes y, \var... ...times \psi_{jk} \rangle\right] = \varphi(x)\psi(y) \in M_n,$$

für $x \in X$, $y \in Y$.

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... zeigt:³¹

Algebraisch hat man auf beiden Seiten die gleichen Räume von Matrizen. Auf der linken Seite erhält man aber die feinere Operatorraumstruktur $T_n := {\mathbb{M} }_n^*$ der Spurklasse

$$\begin{eqnarray*}\lefteqn{M_n(C_l) \otimes_h M_n(R_l) \stackrel{\mathrm{cb}}{=} ... ...es_h R_n) \stackrel{\mathrm{cb}}{=} {\mathbb{M} }_l(M_n(T_n)). \end{eqnarray*}$$

Dagegen ergibt die rechte Seite die gröbere Operatorraumstruktur M_n der Matrizen

$${\mathbb{M} }_n({\mathbb{M} }_n(C_l \otimes R_l) = {\mathbb{... ...hrm{cb}}{=}{\mathbb{M} }_l({\mathbb{M} }_n({\mathbb{M} }_n)).$$

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... kontrahierend.³²

Dies folgt aus der der der Eigenschaft 2 mit den Eigenschaften 3 und 4 von Operatorraum-Tensorprodukten.

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... folgern³³

Dieses Verfahren kann man bereits bei der Herleitung dieser vollständigen Isometrie anwenden. Man sieht leicht, daß auf der Grundstufe $C_n(X) \otimes R_n(Y) = M_n(X \otimes_h Y)$ isometrisch gilt. Hieraus folgt nun die vollständige Isometrie - für alle $p \in {\mathbb{N} }$ gilt isometrisch:

$$\begin{eqnarray*}M_p(C_n(X) \otimes_h R_n(Y)) &=& C_p(C_n(X)) \otimes_h R_p(R_n... ...n}(X \otimes_h Y) = M_p({\mathbb{M} }_n(X \otimes_h Y))\mbox{.} \end{eqnarray*}$$

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... .³⁴

Es seien $S \in M_n(\mathit{CB}(X_1,X_2))$, $T \in M_n(\mathit{CB}(Y_1,Y_2))$. Für $x \in M_{p,q}(X_1)$, $y \in M_{q,p}(Y_1)$ ist

$$\begin{eqnarray*}(S \odot T)^{(p)}(x \odot y) &=& (S^{(p,q)}(x)) \odot (T^{(q,... ..._\mathrm{cb}\Vert T\Vert _\mathrm{cb}\Vert x\Vert \Vert y\Vert. \end{eqnarray*}$$

Nach Definition der Haagerupnorm in $X_1 \otimes_h Y_1$ ist also

$$\begin{eqnarray*}\Vert (S \odot T)^{(p)}(x \odot y) \Vert _{M_{pn}(X_2 \otimes Y... ...b} &\leq& \Vert S\Vert _\mathrm{cb}\Vert T\Vert _\mathrm{cb}. \end{eqnarray*}$$

Das heißt, daß $\otimes_{h}$ vollständig kontrahierend ist.

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...34³⁵

Die Amplifikation von $\otimes_{h}$ ist die tensorielle Matrixmultiplikation $\odot_h$ von Operatormatrizen.

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... Spurklasse-Operatoren³⁶

T trägt seine natürliche Operatorraumstruktur $T({\mathcal{H},\mathcal{K}}) :\stackrel{\mathrm{cb}}{=}K({\mathcal{K}, \mathcal{H}})^*$.

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...ätze ³⁷

Aus der Injektivität des Haagerup-Tensorproduktes folgen Fortsetzungssätze für vollständig beschränkte bilineare (und allgemeiner multilineare) Abbildungen.

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... kurz³⁸

In der Literatur wird die Amplifikation einer bilinearen Abbildung häufig nur für quadratische Operatormatrizen erklärt und als die Amplifikation $\Phi^{(n)}$ bezeichnet. Im Lexikon benutzen wir auch die Amplifikation auf Rechteckmatrizen, da sich dann einige Aussagen, in denen man bei festen $n\in{\mathbb{N} }$ alle Amplifkationen $\Phi^{(n,l)}$, $l \in {\mathbb{N} }$, verwendet, genauer beschreiben lassen.

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... aller³⁹

Man beachte, daß die Norm der bilinearen Abbildung

$$\Phi^{(n)}: M_n(x) \otimes M_n(Y) \rightarrow M_n(Z)$$

im allgemeinen kleiner ist als die Norm $\Vert\Phi\Vert _n$.

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...tex2html_comment_mark⁴⁰

Allgemeiner gilt $\Vert\Phi\Vert _\mathrm{cb}= \Vert\Phi\Vert _1$ für bilineare Abbildungen in eine kommutative C^*-Algebra A, da jede beschränkte lineare Abbildung in A automatisch vollständig beschränkt ist und $\Vert\Phi\Vert _{\mathrm{cb}}=\Vert\Phi\Vert$ [Loe75, Lemma 1]. Für bilineare Abbildungen $\Phi : X \times Y \rightarrow M_n(A)$ gilt $\Vert\Phi\Vert _\mathrm{cb}= \Vert\Phi\Vert _n$.

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...änkt. ⁴¹

Dem entspricht, daß das Haagerup-Tensorprodukt nicht symmetrisch ist.

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...ählen. ⁴²

Weitere Literaturangaben findet man in [CS89, Sec. 4].

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... konvergiert.⁴³

Der Unterschied zur Definition von lokaler Reflexivität ist also, daß die $\varphi_\alpha$ nicht nur kontrahierend, sondern sogar vollständig kontrahierend sein sollen.

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...tex2html_comment_mark⁴⁴

Für die Theorie nuklearer C^*-Algebren siehe z.B. [Mur90] und [Pat88].

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... Neumann-Algebren⁴⁵

Im Zusammenhang hiermit steht das seit geraumer Zeit offene   Derivations- und äquivalent [Kir96, Cor. 1] hierzu das   Ähnlichkeitsproblem für C^*-Algebren. Man beachte, daß im Rahmen der Operatorraum-Theorie positive Ergebnisse erzielt wurden. So zeigte     Christensen in [Chr82], daß die   inneren Derivationen von einer C^*-Algebra nach ${B(\mathcal{H})}$ genau die   vollständig beschränkten Derivationen sind (Satz von Christensen).

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... Darstellungssatz⁴⁶

Für eine entsprechende Formulierung über die Linearisierung auf dem Haagerup-Tensorprodukt vgl. [PS87, Thm. 2.9] !

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...$\emptyset$setzt.⁴⁷

Mit der Bezeichnung $M(V)=\bigcup\{M_n(V)\;\vert\;n\in{\mathbb{N} }\}$ ist eine Menge K von Matrizen über V einfach eine Teilmenge von M(V). Ihre Stufen K_n erhält man als $K_n=K\cap M_n(V)$.

Die folgenden Definitionen lesen sich dann so:

Sei $K\subset M(V)$. K heißt matrixkonvex, falls

$$K\oplus K\subset K \mbox{ und $\alpha^*K\alpha\subset K$\spac... ... Matrizen $\alpha$\space mit $\alpha^*\alpha={\mathbb{1} }$ .}$$

K heißt absolut matrixkonvex, falls

$$K\oplus K\subset K \mbox{ und $\alpha K\beta\subset K$\space ... ...\space mit $\Vert\alpha\Vert$ , $\Vert\beta\Vert\leqslant 1$ .}$$

K heißt Matrixkegel, falls

$$K\oplus K\subset K \mbox{ und $\alpha^*K\alpha\subset K$\space f\uml {u}r alle Matrizen $\alpha$ .}$$

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...$\mathrm{Ball}_n=\{x\in M_n(X)\;\vert\;\Vert x\Vert\leqslant 1\}$,⁴⁸

Also $\mathrm{Ball}=\{x\in M(X)\;\vert\;\Vert x\Vert\leqslant 1\}$.

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...Satz:⁴⁹

Aus diesem Satz kann man leicht die folgende schärfere Fassung der Teile a), b) und d) gewinnen:

a)

Ist K matrixkonvex, so gibt es ein $w\in M_n(W)$, $\alpha\in (M_n)_{\mathrm{sa}}$ und $\varepsilon>0$, so daß für alle $m\in {\mathbb{N} }$ und $v\in K_m$

$$\mathrm{Re}\langle v,w\rangle\leqslant{\mathbb{1} }_m\otimes(... ... v_0,w\rangle\not\leqslant{\mathbb{1} }_n\otimes\alpha \mbox{.}$$

b)

Ist K matrixkonvex und $0\in K_1$, so gibt es ein $w\in M_n(W)$ und $\varepsilon>0$, so daß für alle $m\in {\mathbb{N} }$ und $v\in K_m$

$$\mathrm{Re}\langle v,w\rangle\leqslant(1-\varepsilon){\mathbb... ...e}\langle v_0,w\rangle\not\leqslant{\mathbb{1} }_{n^2} \mbox{.}$$

d)

Ist K absolut matrixkonvex, so gibt es ein $w\in M_n(W)$ und $\varepsilon>0$, so daß für alle $m\in {\mathbb{N} }$ und $v\in K_m$

$$\Vert\langle v,w\rangle\Vert\leqslant 1-\varepsilon \mbox{, aber } \Vert\langle v_0,w\rangle\Vert >1 \mbox{.}$$

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... durch⁵⁰

$D=\{w\in M(W)\;\vert\;Re\langle v,w\rangle\leqslant{\mathbb{1} } \mbox{ f\uml {u}r alle $v\in K$ }\}$

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... durch⁵¹

$D=\{w\in M(W)\;\vert\;\Vert\langle v,w\rangle\Vert\leqslant 1 \mbox{ f\uml {u}r alle $v\in K$ }\}$

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... ⁵²

Der Begriff ,,strukturelles Element``geht auf Morenz zurück [Mor94]. Eine weitere äquivalente Definition wird in [WW99] gegeben. Dort heißen die strukturellen Elemente jedoch ,,matrix extreme points``.

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...einfach⁵³

In [Fis96] heißen diese m-konvexen Mengen ,,endlich``.

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... gilt.⁵⁴

Im Fall R=M_n sind das die C^*-Extremalpunkte. Ansonsten sind R-Extremalpunkte auch C^*-extremal, aber i.a. nicht umgekehrt.

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... Nukleare⁵⁵

Die Definition der vollständig nuklearen Abbildungen ist an den   nuklearen Abbildungen der Banachraumtheorie orientiert. Dort betrachtet man entsprechend eine Abbildung $\Phi_B:E^*\otimes_\gamma F \rightarrow B(E,F)$ für zwei Banachräume E und F.

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... existiert⁵⁶

In der Banachraumtheorie hat man eine analoge Aussage: Eine Abbildung $\varphi$ ist genau dann nuklear, wenn es ein Diagramm

$$\begin{eqnarray*}\ell_\infty &\stackrel{d}{\rightarrow}&\ell_1\\ r\uparrow &&\downarrow s \\ E &\stackrel{\varphi}{\rightarrow}& F,\end{eqnarray*}$$

gibt, wobei d ein Diagonaloperator ist, d.h. es gibt ein $(d_i)\in \ell_1$, so daß $d((a_i))=(d_i\cdot a_i)$ für alle $(a_i)\in \ell_\infty$ ist. Für die nukleare Norm gilt: $\nu_B(\varphi)=\inf\Vert r\Vert\Vert d\Vert _{\ell_1}\Vert s\Vert$, wobei das Infimum über alle Faktorisierungen genommen wird.

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... Punkt-Norm-Topologie⁵⁷

$\varphi_\alpha\to \varphi$ in der Punkt-Norm-Topologie, wenn $\Vert\varphi_\alpha(x)-\varphi(x)\Vert\to 0$ für alle $x \in X$.

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... Integrale⁵⁸

Die   integralen Abbildungen der Banachraumtheorie sind gerade der Punkt-Norm-Abschluß der nuklearen Abbildungen. Man beachte, daß die Formeln $\iota_B(\varphi)= \iota_B(\varphi^*)$ und $I_B(E,F^*)=(E\otimes_\lambda F)^*$ in dieser Form nur für integrale Abbildungen gelten.

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... identifizieren⁵⁹

In der entstehenenden Matrix sind (i,k) die Zeilenindizes und (j,l) die Spaltenindizes, wobei $i,j = 1,\dots,p$ und $k,l = 1,\dots,q$. Die Indizes (i,k) bzw. (j,l) sind lexikographisch angeordnet.

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... Rechteckmatrizen⁶⁰

Man kann untersuchen, wie sich die shuffle-Abbildung

$$(U \otimes X) \otimes (V \otimes Y) \rightarrow (U \otimes V) \otimes(X \otimes Y),$$

$$(u \otimes x) \otimes (v \otimes y) \mapsto (u \otimes v) \otimes (x \otimes y).$$

für Operatorraume U,V,X,Y und verschiedene Kombinationen von Operatorraum-Tensorprodukten verhält [EKR93, Chap. 4].

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... ⁶¹

Die Dualität $\langle X \otimes Y, X^* \otimes Y^*\rangle$ wird durch $\langle x \otimes y, \varphi \otimes \psi \rangle := \langle x,\varphi \rangle \langle y,\psi \rangle$ für $x \in X$, $y \in Y$, $\varphi \in X^*$, $\psi \in Y^*$ erklärt.

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...äume⁶²

Seien E,F Banachräume. Dann haben wir ihre 1-direkte Summe $E \oplus_1 F$ mit der Norm

$${ \left\Norm (x_E,x_F) \right\Norm }_{} = { \left\Norm x_E \right\Norm }_{} + { \left\Norm x_F \right\Norm }_{}$$

und ihre Summe E + F mit der Quotienten-Norm

$${ \left\Norm x \right\Norm }_{E+F} = \inf_{x = x_E + x_F} \l... ...ht\Norm }_{E} + { \left\Norm x_F \right\Norm }_{F} \right) .$$

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...$M_n(X_i) \hookrightarrow M_n(V)$.⁶³

M_n(V) wird mit Vⁿ² identifiziert.

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... Abbildung⁶⁴

Wir identifizieren wie üblich $\mathcal{H}$ mit seinem Dual.

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