Beispiele

Im folgenden sei $(\mathcal{H},\langle \cdot\, ,\cdot \rangle)$ ein Hilbertraum mit einem Skalarprodukt, das wie üblich in der ersten Komponente linear ist.

1.

$(\mathcal{H}, \langle \cdot ,\cdot \rangle)$ ist ein linker Hilbert- ${\mathbb{C} }$-Modul. Obige Konstruktion bietet eine Möglichkeit, $\mathcal{H}$mit einer Operratorraumstruktur zu versehen. Man erhält den   Zeilen-Hilbertraum $R_{\mathcal{H}}$.

2.

Um aus $\mathcal{H}$ einen rechten Hilbert- ${\mathbb{C} }$-Modul zu machen, definiert man auf $\mathcal{H}$ ein neues inneres Produkt durch $\langle x,y \rangle_{{\mathbb{C} }} := \overline{\langle x , y \rangle}$. Der Operatorrraum, der durch obige Konstruktion entsteht, ist gerade der   Spalten-Hilbertraum $C_{\mathcal{H}}$.

3.

Die Abbildung

$$\langle \cdot,\cdot \rangle_{B(\mathcal{H})} : \mathcal{H}\times \mathcal{H}\rightarrow B(\mathcal{H})$$

$$(x,y) \mapsto \langle \cdot , y \rangle x$$

definiert auf $\mathcal{H}$ ein inneres Produkt mit Werten in ${B(\mathcal{H})}$, das in der ersten Komponente linear und in der zweiten konjugiert linear ist. Mit diesem inneren Produkt wird $\mathcal{H}$ zu einem linken Hilbert-C^*-Modul über ${B(\mathcal{H})}$. Der Operatorraum, der durch die obige Konstruktion entsteht, ist gerade der   Spalten-Hilbertraum $C_{\mathcal{H}}$.

4.

Die Abbildung

$$\langle \cdot,\cdot \rangle_{B(\mathcal{H})} : \mathcal{H}\times \mathcal{H}\rightarrow B(\mathcal{H})$$

$$(x,y) \mapsto \langle \cdot , x \rangle y$$

definiert auf $\mathcal{H}$ ein inneres Produkt, mit Werten in ${B(\mathcal{H})}$, das in der ersten Komponente konjugiert linear ist und in der zweiten linear. Mit diesem inneren Produkt und der Modulabbildung

$$\mathcal{H}\times B(\mathcal{H}) \rightarrow \mathcal{H}\: , \: \xi \cdot T := T^*(\xi)$$

wird $\mathcal{H}$ zu einem rechten Hilbert-C^*-Modul über ${B(\mathcal{H})}$. Der Operatorraum, der durch die obige Konstruktion entsteht, ist gerade der   Zeilen-Hilbertraum $R_{\mathcal{H}}$.

5.

Die inneren Produkte aus den Beispielen im Kapitel Rechte und linke Hilbert-C^*-Moduln , die eine C^*-Algebra A zu einem linken bzw. rechten Hilbert-A-Modul machen, induzieren beide eine Operatorraumstruktur, die mit der kanonischen Operatorraumstruktur von A als C^*-Algebra übereinstimmt.