Charakterisierungen von Hilbert-C^*-Moduln

Jeder Hilbert-C^*-Modul über einer C^*-Algebra A trägt eine kanonische Operatorraumstruktur. Die folgenden beiden Kriterien [Ble97] erlauben, einem gegebenen rechten Operator-A-Modul X anzusehen, ob seine Operatorraumstruktur von einem A-wertigen inneren Produkt induziert wird, d.h. ob X ein rechter Hilbert-C^*-Modul ist. Die zweite Charakterisierung macht vom Modul-Haagerup-Tensorprodukt Gebrauch:

a)

Ein rechter Operator-A-Modul X ist genau dann ein rechter Hilbert-C^*-Modul über A mit seiner kanonischen Operatorraumstruktur , wenn gilt: Es gibt ein Netz positiver ganzer Zahlen $n(\alpha)$ und vollständig kontrahierende A-Modulhomomorphismen

$$\Phi_{\alpha} : X \rightarrow C_{n(\alpha)}(A)$$

und

$$\Psi_{\alpha} : C_{n(\alpha)} \rightarrow X\mbox{,}$$

so daß

$$\lim_{\alpha} \Psi_{\alpha}(\Phi_{\alpha}(x)) = x.$$

In diesem Fall existiert der Grenzwert $\lim_{\alpha} \langle \Phi_{\alpha}(x) , \Phi_{\alpha}(y) \rangle_A$und ist gleich dem eindeutig bestimmten inneren Produkt $\langle x,y \rangle$, das die Operatorraumstrukur induziert.

b)

Ein rechter A-Operatormodul X ist genau dann ein rechter Hilbert-C^*-Modul über A, wenn es eine treue, nichtentartete *-Darstellung $\Theta$ von A auf einem Hilbertraum $\mathcal{H}$ gibt, so daß gilt:

i)

$X \otimes_{hA} {\mathcal{C}}_\mathcal{H}$ ist ein Hilbertraum.

ii)

Die Abbildung

$$\begin{eqnarray*}\chi : &X& \rightarrow B(\mathcal{H}, X \otimes_{hA} {\mathcal{C}}_\mathcal{H})\\ &x& \mapsto(\chi(x):\xi\mapsto x\otimes\xi) \end{eqnarray*}$$

ist eine vollständige Isometrie.

iii)

Für alle $x \in X$ gilt $(\chi(x))^* \chi(x) \: \in \: \Theta(A)$.

Das A-wertige innere Produkt, das die Operatorraumstruktur von X induziert, erhält man durch die Beziehung

iv)

$\langle x,y \rangle = \Theta^{-1}((\chi(x))^*\chi(y))$.

Wenn i)-iv) für eine treue, nichtentartete, ^*-Darstellung erfüllt sind, so sind sie es für jede.