Abbildungsräume

Seien E, F Banachräume. Wir betrachten einen linearen Teilraum A(E,F) des Raumes B(E,F) der stetigen Operatoren zwischen E und F, der alle endlichrangigen Abbildungen enthält und bezüglich einer Norm ein Banachraum ist. Üblicherweise verlangt man noch, daß A(E,F) für alle Paare von Banachräumen E und F erklärt ist. Einen solchen Raum bezeichnet man nach Grothendieck als   Abbildungsraum   (Mapping space).

Analog bezeichnen wir einen Operatorraum A(X,Y), der ein linearer Teilraum von $\mathit{CB}(X,Y)$ ist, als   $\mathit{CB}$-Abbildungsraum. Man beachte, daß i.a. die algebraische Identifizierung von M_n(A(X,Y)) mit A(X,M_n(Y)) nicht isometrisch ist und daß die Normen auf A(X,M_n(Y)) keine Operatorraumstruktur für A(X,Y)erzeugen.

Zwischen Abbildungsräumen und Tensorprodukten besteht ein enger Zusammenhang. So sind der Raum F(X,Y) der endlichrangigen Abbildungen  zwischen X und Y und das algebraische Tensorprodukt von X^* mit Y isomorph:

$$X^*\otimes_{\mathrm{alg}} Y\cong F(X,Y).$$

Diese Identifikation ermöglicht es, Normen von dem einen Raum auf den anderen zu übertragen. Man betrachte hierzu die Fortsetzung der Abbildung $X^*\otimes Y\to F(X,Y)$ auf die Vervollständigung $X^*\widetilde{\otimes} Y$:

$$\Phi: X^*\widetilde{\otimes} Y \rightarrow \mathit{CB}(X,Y)\mbox{.}$$

Diese muß weder injektiv noch surjektiv sein. Als Abbildungsraum erhält man daher

$$\mathrm{Bild}(\Phi) \subset \mathit{CB}(X,Y)$$

mit der Norm von

$$(X^*\tilde{\otimes} Y)/ \mathrm{Kern} (\Phi) \mbox{.}$$

Wir betrachten im folgenden Vorschriften, die jedem Paar von Operatorräumen einen Abbildungsraum $A(\cdot,\cdot)$ mit Operatorraumnorm $\alpha(\cdot)$ zuordnen. In der Banachraumtheorie wurde von Pietsch der Begriff des Abbildungsraumes zum Begriff des   Operatorideals verschärft [Pie78]. Analog betrachten wir in der Operatorraumtheorie Zuordnungen, die eine       $\mathit{CB}$-Idealeigenschaft [ER94] haben, d.h. die Komposition

$$\begin{eqnarray*}\mathit{CB}(X_1,X_2) \times A(X_2,Y_2) \times \mathit{CB}(Y_2,Y... ...(\Psi_1,\Phi,\Psi_2) & \mapsto & \Psi_2 \circ \Phi \circ \Psi_1 \end{eqnarray*}$$

ist für alle Operatorräume X₁, X₂, Y₁, Y₂ erklärt und allgemein vollständig kontrahierend .

Ein $\mathit{CB}$-Abbildungsraum mit der $\mathit{CB}$-Idealeigenschaft heißt  lokal [EJR98], wenn für seine Norm gilt:

$$\alpha(\varphi)=\sup\{\alpha (\varphi \vert _L):L\subset X ,\; \dim L<\infty\}\mbox{.}$$