Unterräume und Quotienten

Seien X ein matrixnormierter Raum und   $X_0\subset X$ ein linearer Teilraum. Dann ist $M_n(X_0)\subset M_n(X)$, und X₀ ist mit der Einschränkung der Matrixnorm wieder ein matrixnormierter Raum. Die Einbettung $X_0 \hookrightarrow X$ ist vollständig isometrisch. Ist X ein Operatorraum und $X_0\subset X$ ein abgeschlossener Teilraum, so ist $M_n(X_0)\subset M_n(X)$ abgeschlossen und X₀ ein Operatorraum.

Es ist M_n(X/X₀)=M_n(X)/M_n(X₀). Falls X₀ abgeschlossen ist, ist X/X₀ mit der von dieser Identifizierung induzierten Quotientennorm ein matrixnormierter Raum (Operatorraum, falls X einer ist). Die Quotientenabbildung $X \twoheadrightarrow X/X_0$ ist eine vollständige Quotientenabbildung.

Allgemeiner ist ein      Unterraum eines matrixnormierten Raumes (Operatorraumes) X ein matrixnormierter Raum (Operatorraum) Yzusammen mit einem vollständig isometrischen Operator $Y\to X$. Ein      Quotient von X ist ein matrixnormierter Raum (Operatorraum) Y zusammen mit einer vollständigen Quotientenabbildung $X \twoheadrightarrow Y$.