Matrizen über einem Operatorraum

Der Vektorraum M_p(X) der   Matrizen über einem matrixnormierten Raum X ist auf natürliche Weise ebenfalls ein matrixnormierter Raum: Dabei wird die n-te Stufe M_n(M_p(X)) durch die Identifikation

M_n(M_p(X)) = M_np(X)

normiert [BP91, p. 265]. M_p(X), versehen mit dieser Operatorraumstruktur, bezeichnen wir⁷ mit

$${\mathbb{M} }_p(X) \mbox{.}$$

 Insbesondere gilt für die Grundstufe

$${M_1}({\mathbb{M} }_p(X)) = M_p(X) \mbox{.}$$

Entsprechend wird auch M_p,q(X) durch die Identifizierung

M_n(M_p,q(X))=M_np,nq(X)

zu einem matrixnormierten Raum   ${\mathbb{M} }_{p,q}(X)$. Dieser ist durch Auffüllen der Rechteckmatrizen mit Nullen ein Unterraum von ${\mathbb{M} }_r(X)$für $r\geqslant p$, q.

Beispiele:   Ist A eine C^*-Algebra, so ist ${\mathbb{M} }_p(A)$ die C^*-Algebra der $p\times p$-Matrizen über A mit ihrer Operatorraumstruktur.

Der Banachraum M_p(A) ist die Grundstufe des Operatorraumes ${\mathbb{M} }_p(A)$.

Die komplexen Zahlen haben genau eine Operatorraumstruktur, die auf der Grundstufe isometrisch zu ${\mathbb{C} }$ ist. Für diese ist isometrisch   $M_p({\mathbb{C} }) = M_p$. Wir setzen

$${\mathbb{M} }_p := {\mathbb{M} }_p({\mathbb{C} }) \mbox{.}$$

Damit bezeichnet ${\mathbb{M} }_p$ immer die C^*-Algebra der $p\times p$-Matrizen mit ihrer Operatorraumstruktur. Der Banachraum M_p ist die Grundstufe des Operatorraumes ${\mathbb{M} }_p$.