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Matrizen über einem Operatorraum

Der Vektorraum Mp(X) der   Matrizen über einem matrixnormierten Raum X ist auf natürliche Weise ebenfalls ein matrixnormierter Raum: Dabei wird die n-te Stufe Mn(Mp(X)) durch die Identifikation

Mn(Mp(X)) = Mnp(X)

normiert [BP91, p. 265]. Mp(X), versehen mit dieser Operatorraumstruktur, bezeichnen wir7 mit

\begin{displaymath}{\mathbb{M} }_p(X) \mbox{.}\end{displaymath}

 Insbesondere gilt für die Grundstufe

\begin{displaymath}{M_1}({\mathbb{M} }_p(X)) = M_p(X) \mbox{.}\end{displaymath}

Entsprechend wird auch Mp,q(X) durch die Identifizierung

Mn(Mp,q(X))=Mnp,nq(X)

zu einem matrixnormierten Raum   ${\mathbb{M} }_{p,q}(X)$. Dieser ist durch Auffüllen der Rechteckmatrizen mit Nullen ein Unterraum von ${\mathbb{M} }_r(X)$für $r\geqslant p$, q.

Beispiele:   Ist A eine C*-Algebra, so ist ${\mathbb{M} }_p(A)$ die C*-Algebra der $p\times p$-Matrizen über A mit ihrer Operatorraumstruktur.

Der Banachraum Mp(A) ist die Grundstufe des Operatorraumes ${\mathbb{M} }_p(A)$.

Die komplexen Zahlen haben genau eine Operatorraumstruktur, die auf der Grundstufe isometrisch zu ${\mathbb{C} }$ ist. Für diese ist isometrisch   $M_p({\mathbb{C} }) = M_p$. Wir setzen

\begin{displaymath}{\mathbb{M} }_p := {\mathbb{M} }_p({\mathbb{C} }) \mbox{.}\end{displaymath}

Damit bezeichnet ${\mathbb{M} }_p$ immer die C*-Algebra der $p\times p$-Matrizen mit ihrer Operatorraumstruktur. Der Banachraum Mp ist die Grundstufe des Operatorraumes ${\mathbb{M} }_p$.


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Lehrstuhl Prof. Dr. Gerd Wittstock
1999-09-04