3.3.4.2 Wie gelangt man (am besten) zur Addition ungleichnamiger Brüche ?

In der Regel findet die Bruchrechnung in der 6. Klasse statt. Voraussetzung: Der Schüler kann mit natürlichen Zahlen rechnen.

3.3.4.2.1 Einführung der Bruchzahlen

Der Schüler sollte in die Lage versetzt werden verständig, nicht rezepthaft, mit Bruchzahlen umzugehen. Dazu ist es sinnvoll die zu erwerbenden Begriffe und Verfahren aus ihren Umweltbezügen zu lösen. Man kann verschiedene Anwendungsaspekte unterscheiden:

1. Maßzahlaspekt ( $\frac{1}{2}$ Meter)
2. Relationsaspekt (Die Erde ist zu $\frac{2}{3}$ mit Wasser bedeckt)
3. Operatoraspekt (Nimm ein Viertel der Pizza)
4. Quotientenaspekt (Die Karte ist im Maßstab 1:200000)

Der Maßzahlaspekt steht im Alltag im Vordergrund und bietet sich damit als schulischer Zugang an.

3.3.4.2.2 Konkrete Brüche

Grundlage für die Einführung der Bruchzahlen ist Erfahrung im Operieren mit konkreten Brüchen. Hier muß man zwei Grundvorstellungen unterscheiden:

Bruch als Teil eines Ganzen

oder mehrerer Ganzen.

Der erste Zugang ist einfacher zu realisieren. Konkrete Brüche lassen sich durch Teilen eines vorgegebenen Streifens realisieren: Durch wiederholtes halbierendes Falten wird durch Zweierpotenzen geteilt; ein Papierstreifen wird gefünftelt durch zusammenrollen zu einem geeigneten Querschnitt und zusammendrücken. Oder beliebige Strecken lassen sich durch Einpassen in äquidistante Parallelen (für den Schüler: Streifenmuster) in gleiche Teile zerlegen. Diese Elementarbrüche können dann zusammengesetzt werden. Die zweite Vorstellung sollte darauf aufbauen: Ein Repräsentant der Länge 1 wird vervielfacht und dann geteilt. Formal unterscheiden sich die Grundvorstellungen nur in der Reihenfolge des Vervielfachens und Teilens. In realistischen Verteilungssituationen - das Verteilen von drei Pizzas, die vielleicht noch nacheinander auf den Tisch kommen, an vier Kinder - scheint dies nicht selbstverständlich, so daß der hier beschriebene Weg des Aufeinanderaufbauens beschritten werden sollte. Abschließend ist die Einsicht zu gewinnen, daß man in beiden Fällen zur selben Lösung gelangt, für die man dann auch den selben Namen verwenden darf. Umgekehrt muß auch ein vorgegebener Repräsentant durch einen und dann verschiedene konkrete Brüche benannt werden können. In einfachen Fällen kann auch schon die Addition angesprochen werden. ( $\frac{1}{2}+\frac{1}{4}=\frac{3}{4}$)

3.3.4.2.3 Abstrakte Bruchzahlen

Nach einer gründlichen Beschäftigung mit konkreten Brüchen kann die Abstraktion zu den Bruchzahlen erfolgen. Der Schüler findet schnell:

Gilt $\frac{3}{4}$ Meter $= \frac{6}{8}$ Meter so gilt auch $\frac{3}{4}$ Pizza $= \frac{6}{8}$ Pizza.
Gilt $\frac{1}{2}$ Kuchen $+ \frac{1}{4}$ Kuchen $= \frac{3}{4}$ Kuchen so gilt dies auch für Stunden.

Schüler erkennen also:

Gilt eine Aussage für eine Größeneinheit so gilt sie für alle.

Zur Bruchzahl gelangt man jetzt durch Weglassen der Einheit. Die Brüche als Zahlen aufzufassen liegt nah:

man kann damit rechnen,

sie der Größe nach ordnen,

sie auf dem Zahlenstrahl darstellen,

mit ihrer Hilfe Größen benennen.

3.3.4.2.4 Erweitern und Kürzen

Die Addition ungleichnamiger Brüche setzt einen weiteren Schritt voraus: Erweitern und Kürzen. Erweitern und Kürzen lassen sich an einem unterteilten Rechteck veranschaulichen. Die Verfeinerung der Unterteilung führt zum Erweitern, die Vergröberung zum Kürzen. Erweitern ist beliebig möglich, Kürzen nur bis zu einem Kernbruch. Ist der Grundgedanke anschaulich verstanden - Übergang zu einem anderen Namen für dieselbe Bruchzahl - und durch variierte konkrete Beispiele vertieft, kann man die Regel formulieren: Man erweitert bzw. kürzt einen Bruch, indem man Zähler und Nenner mit derselben Zahl multipliziert, bzw. durch dieselbe Zahl dividiert. Um das Kürzen zu optimieren benötigr man den Begriff des ggT.