Wir wollen eine Klasse von stetigen Funktionen untersuchen, für die man die --Relation sehr gut im Griff hat:
Es sei ein Intervall. Eine Funktion heißt Lipschitz-stetig, wenn es eine Konstante , , so gibt, daß
LIPSCHITZ, Rudolf Otto Sigismund, 1832-1903.
Bemerkung. Den Begriff Lipschitz-stetig kann man genauso für Funktionen erklären. Dies gibt uns eine Methode, Funktionen von den rationalen Zahlen auf die reellen Zahlen fortzusetzen:
Es sei ein Intervall. Eine Lipschitz-stetige Funktion hat genau eine stetige Fortsetzung .
Diese ist ebenfalls Lipschitz-stetig mit der gleichen Lipschitz-Konstante.
Bezeichnung. bezeichnet das entsprechende abgeschlossene Intervall.
Beweis . Nach Bemerkung gibt es zu eine Folge in , die gegen konvergiert. Dann ist eine Cauchy-Folge und es existiert
Wir definieren die Fortsetzung durch .
Zu , wähle Folgen , in mit und . Dann folgt:
. |
Es seien ein Intervall und stetig auf .
Wenn die Einschränkung (streng) monoton wachsend ist, so ist (streng) monoton wachsend.
Beweis . Wir zeigen den Fall strenger Monotonie:
Es seien , und . Nach gibt es , mit und Folgen , in , so daß von unten und von oben . Dann gilt