Lipschitz-stetige Funktionen

Wir wollen eine Klasse von stetigen Funktionen untersuchen, für die man die $\varepsilon$-$\delta$-Relation sehr gut im Griff hat:

Definition 2.4.1 (Lipschitz-stetige Funktionen)  

Es sei $I$ ein Intervall. Eine Funktion $f:I \rightarrow \mathbb{R}$ heißt Lipschitz-stetig, wenn es eine Konstante $L\geqslant0$, $L\in\mathbb{R}$, so gibt, daß

$$\vert f(x)-f(y)\vert \leqslant L\, \vert x-y\vert$$       für $x$, $y \in I$.$$$$

$L$ heißt eine Lipschitz-Konstante von $f$.

LIPSCHITZ, Rudolf Otto Sigismund, 1832-1903.

Beispiele 2.4.2 (Lipschitz-stetige Funktionen)  

1. Für $n\in \mathbb{N}$ ist   $x\mapsto x^n$  Lipschitz-stetig auf jedem Intervall $[-a,a]$, $a>0$:
   $$\vert x^n-y^n\vert = \vert\sum_{k=0}^{n-1} x^ky^{n-1-k}\vert\vert x-y\vert\leqslant L\,\vert x-y\vert$$
   mit $L :=na^{n-1}$.
2. Für $n\in \mathbb{N}$ ist   $x\mapsto \sqrt[\uproot{2}n]{x}$  Lipschitz-stetig auf jedem Intervall $[a,\infty)$, $a>0$:
   $$\vert\sqrt[\uproot{2}n]{x}-\sqrt[\uproot{2}n]{y}\vert = \frac{\v... ... \sqrt[\uproot{2}n]{\smash[b]{y}}\;\strut^{n-1-k}} \leqslant L\,\vert x-y\vert$$
   mit $$L :=\frac{1}{na^{\frac{n-1}{n}}}= \frac{1}{n}a^ {-\frac{n-1}{n}}$$.
3. Die Funktion $x\mapsto x^{\frac{p}{q}}$ werden wir später mit Hilfe des Mittelwertsatzes der Differentialrechnung untersuchen (vgl. auch Korollar )

Bemerkung 2.4.3   Wenn $f:I \rightarrow \mathbb{R}$ Lipschitz-stetig ist, so bildet $f$ Cauchy-Folgen in Cauchy-Folgen ab.

Beweis . Klar

Bemerkung. Den Begriff Lipschitz-stetig kann man genauso für Funktionen $f: I\cap \mathbb{Q}\rightarrow \mathbb{R}$ erklären. Dies gibt uns eine Methode, Funktionen von den rationalen Zahlen auf die reellen Zahlen fortzusetzen:

Satz 2.4.4 (Fortsetzung Lipschitz-stetiger Funktn.)  

Es sei $I\subset \mathbb{R}$ ein Intervall. Eine Lipschitz-stetige Funktion $f: I\cap \mathbb{Q}\rightarrow \mathbb{R}$ hat genau eine stetige Fortsetzung $\widetilde{f} : \bar{I} \rightarrow \mathbb{R}$.

Diese ist ebenfalls Lipschitz-stetig mit der gleichen Lipschitz-Konstante.

Bezeichnung. $\bar{I}$ bezeichnet das $I$ entsprechende abgeschlossene Intervall.

Beweis . Nach Bemerkung   gibt es zu $x\in \bar{I}$ eine Folge $(r_n)_n$ in $I\cap\mathbb{Q}$, die gegen $x$ konvergiert. Dann ist $\bigl(f(r_n)\bigr)_n$ eine Cauchy-Folge und es existiert

$$\lim\limits_{n\to\infty}f(r_n) = \ell$$.$$$$

Nach dem Reißverschlußprinzip   gilt für jede Folge $(s_n)_n$ in $I\cap\mathbb{Q}$:

$$s_n\to x \quad\Rightarrow\quad f(s_n)\to \ell$$.$$$$

Offensichtlich ist $f(x) = \ell$ für $x \in I\cap\mathbb{Q}$.

Wir definieren die Fortsetzung $\widetilde{f}$ durch $\widetilde{f}(x) :=\ell$.

Zu $x$, $y \in \bar{I}$ wähle Folgen $(r_n)_n$, $(s_n)_n$ in $I\cap\mathbb{Q}$ mit $r_n \to x$ und $s_n \to y$. Dann folgt:

$$\vert f(x)-f(y)\vert = \lim_{n\to\infty}\vert f(r_n)-f(s_n)\vert$$

$$\leqslant \lim_{n\to\infty}L\,\vert r_n-s_n\vert = L\,\vert x-y\vert$$

Satz 2.4.5 (Vererbung der Monotonie)  

Es seien $I\subset \mathbb{R}$ ein Intervall und $f:I \rightarrow \mathbb{R}$ stetig auf $I$.

Wenn die Einschränkung $f\vert _{I\cap\mathbb{Q}}$ (streng) monoton wachsend ist, so ist $f$ (streng) monoton wachsend.

Beweis . Wir zeigen den Fall strenger Monotonie:

Es seien $x$, $y\in \mathbb{R}$ und $x<y$. Nach gibt es $s_1$, $s_2\in \mathbb{Q}$ mit $x < s1 < s_2 < y$ und Folgen $(r_n)_n$, $(t_n)_n$ in $\mathbb{Q}$, so daß von unten $r_n \to x$ und von oben $t_n\to y$. Dann gilt

$$f(x) = \lim_{n\to\infty}f(r_n) \leqslant f(s_1) < f(s_2) \leqslant \lim_{n\to\infty}f(t_n) = f(y)$$   .$$$$