Reelle Potenzen

Wir zeigen, daß die Exponentialfunktion zur Basis $a>1$ mit rationalen Exponenten:

$$\mathbb{Q}\ni {\frac{\strut p}{q}} \mapsto a\strut^{\textstyle \frac{ p}{q}} \in\mathbb{R}$$

streng konvex ist. Nach Korollar hat diese Funktion eine eindeutige stetige Fortsetzung auf $\mathbb{R}$.

Diese Fortsetzung heißt Exponentialfunktion zur Basis $a$.

Hiermit definieren wir dann die Potenzfunktion für reelle Exponenten.

Lemma 2.4.16   Es seien $a>1$, $b>1$ in $\mathbb{R}$.

1. Für alle $n\in \mathbb{N}$ ist
   $$\frac{b^n-1}{n}<\frac{b^{n+1}-1}{n+1}$$    .$$$$

2. Für alle $r$, $s \in\mathbb{Q}$ folgt aus $0<r<s$, daß
   $$\frac{a^r-1}{r} < \frac{a^s-1}{s}$$   .

3. Für alle $r$, $s$, $t\in\mathbb{Q}$ folgt aus $r<s<t$, daß
   $$\frac{a^s-a^r}{s-r} < \frac{a^t-a^r}{t-r}$$    .

4. Die Funktion $\mathbb{Q}\ni r \mapsto a^r$ ist streng konvex.

Beweis .

1. Da $b>1$ ist   $nb^n > \sum_{k=0}^{n-1}b^k$  und folglich
   $$(n+1)\sum_{k=0}^{n-1} b^k < n \sum_{k=0}^n b^k \quad\Rightarrow\quad \frac{b^n-1}{n} < \frac{b^{n+1}-1}{n+1}$$ .$$$$

2. Es seien $r=\frac{m}{q}$, $s = \frac{n}{q}$ mit $m$, $n$, $q\in\mathbb{N}$ und $b :=a^{\frac{1}{q}}$. Es ist $b>1$. Aus $r<s$ folgt $m<n$ und mit (1.)
   $$\frac{a^r-1}{r} = q\,\frac{b^m-1}{m} < q\,\frac{b^n-1}{n} = \frac{a^s-1}{s}$$   .$$$$

3. Für $r$, $s$, $t\in\mathbb{Q}$ folgt aus $r<s<t$ mit (2.)
   $$\frac{a^s-a^r}{s-r} = a^r\,\frac{a^{s-r}-1}{s-r} < a^r\,\frac{a^{t-r}-1}{t-r} = \frac{a^t-a^r}{t-r}$$    .$$$$

4. Aus (3.) und Lemma (2.) folgt, daß die Funktion $r\mapsto a^r$ streng konvex ist.

Es sei $a>1$, $a \in \mathbb{R}$. Nach Korollar hat die streng konvexe Funktion $\mathbb{Q}\ni r \mapsto a^r$ eine eindeutige stetige Fortsetzung auf $\mathbb{R}$.

Bezeichnung 2.4.17 (Exponentialfunktion)  

1. Für $a>1$, $a \in \mathbb{R}$ heißt die stetige Fortsetzung der Funktion $\mathbb{Q}\ni r \mapsto a^r$ Exponentialfunktion zur Basis $a$ und wird mit
   $$x \mapsto a^x$$       für $x \in \mathbb{R}$.$$$$
   bezeichnet.
2. Für $0 < a < 1$, $a \in \mathbb{R}$ setzt man $a^x :=\bigl(\frac{1}{a}\bigr)^{-x}$.
3. Die Exponetialfunktion zur Basis $e$ wird mit $\exp(x) :=e ^x$ bezeichnet und heißt die Exponentialfunktion.

Feststellung 2.4.18 (Regeln: Exponentialfunktion)  

Es sei $a>0$, $a \in \mathbb{R}$.

1. Es gilt die Funktionalgleichung
   $$a^x\cdot a^y = a^{x+y}$$       für $x$, $y\in \mathbb{R}$.$$$$

2. Es ist $a^0 = 1$,
   $$a^{-x} = \frac{1}{a^x}$$       und    $$a^x > 0$$       für $x \in \mathbb{R}$.$$$$

3. Für $a>1$ ist die Exponentialfunktion zur Basis $a$ streng monoton wachsend und streng konvex.
4. Für $a>1$ gilt
   $$\lim_{x\to-\infty}a^x = 0$$       und    $$\lim_{x\to\infty}a^x =\infty$$   .$$$$

Beweis .

1. Wähle Folgen $(r_n)_n$ und $(s_n)_n$ in $\mathbb{Q}$ mit $r_n \to x$ und $s_n \to y$. Da die Exponetialfunktion stetig ist, folgt:
   $$a^x\cdot a^y = \lim_{n\to\infty}a^r_n\cdot a^s_n = \lim_{n\to\infty}a^{r_n+s_n} = a^{x+y}$$

2. Da $a^0 = 1$ folgt $a^x\cdot a^{-x} = a^0 = 1$ und $a^x = (a^{\frac{x}{2}})^2 \geqslant 0$.

3. Da die Exponentialfunktion für rationale Exponenten streng monoton ist, folgt die strenge Monotonie der stetigen Fortsetzung wie in Beispiel .

   Analog folgt die strenge Konvexität.

4. Da $a>1$ ist $\lim\limits_{n\to\infty}a^n = \infty$. Da die Exponentialfunktion monoton wachsend ist, folgt hieraus $\lim\limits_{x\to\infty}a^x=\infty$.

   Es ist $\lim\limits_{x\to -\infty}a^x = \lim\limits_{x\to\infty}\frac{1}{a^x} = 0$.

Da $a^x = \bigl( \frac{1}{a} \bigr)^{-x}$ ist erhalten wir:

Korollar 2.4.19   Für $0 < a < 1$ ist die Exponentialfunktion $\mathbb{R}\ni x \mapsto a^x$ streng monoton fallend und streng konvex.

Bemerkung. Für $a>0$ und $s=\frac{m}{n}$, $t=\frac{p}{q} \in \mathbb{Q}$ gilt bekanntlich

$$(a^s)^t = \bigl( a^{\frac{m}{n}} \bigr)^{\frac{p}{q}} = \Big( \Bigl( \big... ...^{\frac{1}{q}} = \Bigl( \bigl( a^{\frac{1}{n}} \bigr)^{mp} \Bigr)^{\frac{1}{q}}$$

$$= \Bigl( \bigl( a^{\frac{1}{n}} \bigr)^{\frac{1}{q}} \Bigr)^{mp} = \bigl( a^{\frac{1}{nq}} \bigr)^{mp} = a^{\frac{mp}{nq}} = a^{st}$$

Feststellung 2.4.20 (Potenzgesetz)  

Es sei $a>0$, $a \in \mathbb{R}$. Dann gilt

$$\bigl(a^x\bigr)^y = a^{xy}$$   für $x$, $y\in \mathbb{R}$.$$$$

Beweis . Wir wählen zunächst $t\in\mathbb{Q}$ und zeigen $(a^x)^t = a^{xt}$ für $x \in \mathbb{R}$.

Dazu wähle man eine Folge $(s_k)_k$ in $\mathbb{Q}$ mit $s_k \to x$.

Da die Potenzfunktion $(0,\infty) \ni z \mapsto z^t$ für rationale Exponenten $t$ stetig ist (vgl. Beispiel ), erhalten wir

$$(a^x)^t = \lim_{n\to\infty}(a^{s_k})^t = \lim_{n\to\infty} a^{s_k t} = a^{xt}$$.$$$$

Nun wählen wir eine Folge $(t_n)_n$ in $\mathbb{Q}$ mit $t_n\to y$ und erhalten

$$(a^x)^y = \lim_{n \to\infty}(a^x)^{t_n} = \lim_{n\to\infty} a^{xt_n} = a^{xy}$$   .$$$$

Anmerkung. Vertauschen wir die Reihenfolge der Grenzprozesse $s_k \to x$ und $t_n\to y$, stoßen wir auf ein Problem, da wir noch zeigen müssen, daß die Potenzfunktion für irrationale Exponenten stetig ist.

Bezeichnung 2.4.21 (Reelle Potenzen)  

Für $a \in \mathbb{R}$ definiert man die Potenzfunktion zur Potenz $a$ durch:

$$p_a : x \mapsto x^a$$       für $x\in (0,\infty)$.$$$$

Bemerkung 2.4.22 (Rechenregeln: Potenzfunktion)  

1. Für jede Folge $(r_n)_n$ in $\mathbb{Q}$ mit Grenzwert $a \in \mathbb{R}$ ist:
   $$x^a = \lim\limits_{n\to\infty} x^{r_n}$$   .$$$$

2. Es gilt die Funktionalgleichung:
   $$x^a\,y^a = (xy)^a$$   für $x$, $y\in (0,\infty)$.$$$$

3. Nach Feststellung ist $p_{\frac{1}{a}}$ die Umkehrfunktion zu $p_a$:
   $$\bigl( x^a \bigr)^{\frac{1}{a}} = x^{a\frac{1}{a}} = x^1 = x$$.$$$$

4. Es sei $a>0$: Da die Potenzfunktion $p_r$ für rationale $r>0$ streng monoton wachsend ist, ist $p_a$ monoton wachsend. Da $p_a$ injektiv ist, ist $p_a$ streng monoton wachsend.
5. Für $a>0$ gilt: $\lim_{x\to\infty}x^a = \infty$   und$\quad \lim_{x\to 0}x^a = 0$.
6. Für $a>0$ setzt man $0^a :=0$.

Lemma 2.4.23 (Zur Konvexität der Potenzfkt.)  

Es seien $x$, $y\in \mathbb{R}$ und $1<x<y$.

1. Für $m$, $n\in \mathbb{N}$ mit $m<n$ gilt:
   $$\frac{y^m-1}{x^m-1} < \frac{y^n-1}{x^n-1}$$.$$$$

2. Für $r$, $s \in\mathbb{Q}$ mit $0<r<s$ gilt
   $$\frac{y^r-1}{x^r-1} < \frac{y^s-1}{x^s-1}$$.$$$$

3. Es sei $a \in \mathbb{R}$. Für $a>1$ gilt
   $$\frac{x^a-1}{x-1} < \frac{y^a-1}{y-1}$$.$$$$

Beweis .

1. Für $k$, $l \in \mathbb{N}$, $k<l$ und $0< x<y$ gilt $y^kx^l < x^ky^l$.

   Für $m$, $n\in \mathbb{N}$ mit $m<n$ folgt daraus

   $$\sum_{k=0}^{m-1} y^k \sum_{l=0}^{n-1} x^l < \sum_{k=0}^{m-1} x^k \sum_{l=0}^{n-1} y^l$$   .$$$$
   Wenn $1<x<y$ oder $\ 0<x<y<1\$ ist, so ist $(x-1)(y-1) > 0$ und folglich (geometrische Reihe)
   $$(y^m-1)(x^n-1) < (x^m-1)(y^n-1)$$   .$$$$
   Hieraus folgt nun die Behauptung (1.).

2. Es seien $r=\frac{m}{q}$, $s = \frac{n}{q}$ mit $m$, $n$, $q\in\mathbb{N}$. Da die $q$-te Wurzel streng monoton ist, gilt nach Voraussetzung $1 < x^{\frac{1}{q}} < y^{\frac{1}{q}}$ bzw. $0< x^{\frac{1}{q}} < y^{\frac{1}{q}} < 1$. Aus (1.) folgt nun
   $$\frac{y^r-1}{x^r-1} = \frac{\bigl(y^{\frac{1}{q}}\bigr)^m -1}{\bi... ...frac{1}{q}}\bigr)^n -1}{\bigl(x^{\frac{1}{q}}\bigr)^n -1} =\frac{y^s-1}{x^s-1}$$

   Die Funktion $(0,\infty)\cap\mathbb{Q}\ni r \mapsto \frac{y^r-1}{x^r-1}$ ist streng monoton wachsend und hat eine stetige Fortsetzung auf $(0,\infty)$. Nach Satz ist die Fortsetzung streng monoton.

   Für $\rho$, $\sigma\in\mathbb{R}$ mit $0 < \rho < \sigma$ gilt also

   $$\frac{y^\rho-1}{x^\rho-1} < \frac{y^\sigma-1}{x^\sigma-1}$$.$$\qquad\qquad(\star)$$

3. Im Fall $1<a$ setze man in $(\star)$ $\rho=1$ und $\sigma=a$.

Feststellung 2.4.24 (Konvexität der Potenzfkt.)  

Es sei $a \in \mathbb{R}$. Die Potenzfunktion

$$p_a : (0,\infty)\ni x \mapsto x^a$$

1. ist streng monoton wachsend und streng konvex für $1<a$.
2. ist streng monoton wachsend und streng konkav für $0 < a < 1$.
3. ist streng monoton fallend und streng konvex für $a < 0$.

Mit der Feststellung erhält man:

Korollar 2.4.25  

Die Potenzfunktion $(0,\infty)\ni x \mapsto x^a$ ist für jeden Exponenten $a \in \mathbb{R}$ stetig.

Auf jedem kompakten Teilintervall $[c,d]\subset (0,\infty)$ ist die Potenzfunktion Lipschitz-stetig.

Beweis .

1. Es sei $1<a$: Die die Potenzfunktion $p_a$ ist monoton wachsend und bijektiv, also ist sie streng monoton wachsend.

   Für $0<u<x<y$ gilt nach Lemma (3.)

   $$\frac{x^a-u^a}{x-u} = \Bigl( \frac{u^a}{u} \Bigr) \frac{ (\frac{x... ...u^a}{u} \Bigr) \frac{ (\frac{y}{u})^a-1}{\frac{y}{u}-1} = \frac{y^a-u^a}{y-u}$$
   Aus Lemma (2.) folgt nun, daß Potenzfunktion für $1<a$ streng konvex ist.
2. Es sei $0 < a < 1$. $p_a$, ist die Umkehrfunktion zu $p_{\frac{1}{a}}$. Nach (1.) ist $p_{\frac{1}{a}}$ streng monoton wachsend und streng konvex. Nach Bemerkung ist die Umkehrfunktion streng monoton wachsend und streng konkav.

3. Wir untersuchen $p_{-a}$ und unterscheiden drei Fälle:

   

   Nach Beispiel (3.) ist $p_{-1} (0,\infty)\ni x \mapsto x^{-1}$ streng monoton fallend und streng konvex.

   

   Da $p_{-1}: (0,\infty)\ni x \mapsto x^{-1}$ streng monoton fallend und streng konvex ist und $p_a : (0,\infty) \ni y \mapsto y^a$ streng monoton wachsend und streng konvex ist, ist die Komposition $p_{-a} : (0,\infty)\ni x \mapsto x^{-a}$ streng monton fallend und streng konvex ( vgl. Bemerkung (1.)).

   

   Da $p_a : (0,\infty)\ni x \mapsto x^a$ streng monoton wachsend und streng konkav ist und $p_{-1} : (0,\infty)\ni y \mapsto y^{-1}$ streng monoton fallend und streng konvex ist, ist die Komposition $p_{-a} : (0,\infty)\ni x \mapsto x^{-a}$ streng monoton fallend und streng konvex. (vgl. Bemerkung (2.)).

   Insgesamt folgt also die Behauptung (3.).