Konvexe Funktionen

Bemerkung. In elementaren Büchern zum ,,Calculus `` findet man manchmal die Veranschaulichung der stetigen Funktionen als Funktionen, deren Graph man mit einem Stift ohne abzusetzen zeichnen kann.

Etwas besser entsprechen die stückweise konvexen oder konkaven Funktionen, die an den Anschlußstellen stetig zusammenpassen, dieser Vorstellung.

Bezeichnung und Bemerkung 2.4.6 (Sekante)  

1. Es seien $I$ ein nichtausgeartetes Intervall und $f:I \rightarrow \mathbb{R}$. Für $a$, $b \in I$, $a\not=b$ nennt man die Gerade durch die Punkte $(a,f(a))$ und $(b,f(b))$ die Sekante durch diese Punkte auf dem Graphen von $f$.
2. Die Gleichung dieser Sekante lautet:
   $$y = f(a) + \frac{f(b)-f(a)}{b-a}(x-a)$$       für $x \in I$.$$$$

3. Der Differenzenquotient
   $$\frac{f(b)-f(a)}{b-a}$$
   heißt die Steigung der Sekante.

Bemerkung.

Die Verbindungsstrecke der Punkte $\bigl(a,f(a)\bigr)$ und $\bigl(b,f(b)\bigr)$ nennen wir die Sehne über dem Intervall $[a,b]$.

Die Sehne ist das Bild des Einheitsintervalls $[0,1]$ unter der affinen Abbildung

$$t \mapsto \bigl( (1-t)a+tb, (1-t)f(a) +t(f(b) \bigr)$$       für $t\in [0,1]$.$$$$

Anschaulich heißt eine Funktion konvex, wenn ihr Graph immer unterhalb jeder Sehne verläuft.

Definition 2.4.7 (konvexe Funktion)  

1. Es seien $I\subset \mathbb{R}$ ein nichtausgeartetes Intervall. Eine Funktion $f:I \rightarrow \mathbb{R}$ heißt konvex, wenn für alle offenen Teilintervalle $(a, b) \subset I$ stets gilt:
   $$f(x) \leqslant f(a) + \frac{f(b)-f(a)}{b-a}(x-a)$$       für $x\in (a,b)$.$$$$

2. $f$ heißt streng konvex, wenn
   $$f(x) < f(a) + \frac{f(b)-f(a)}{b-a}(x-a)$$       für $x\in (a,b)$.$$$$

3. $f$ heißt konkav bzw. streng konkav, wenn $-f$ konvex bzw streng konvex ist.

Durch algebraische Umformung der Definition erhält man:

Bemerkung 2.4.8  

1. Eine Funktion $f:I \rightarrow \mathbb{R}$ ist (streng) konvex, wenn für alle offenen Teilintervalle $(a, b) \subset I$ und $x\in (a,b)$ stets gilt:
   $$f(x) \quad\genfrac{}{}{0pt}{}{\leqslant}{(<)}\quad \frac{b-x}{b-a}\,f(a) + \frac{x-a}{b-a}\,f(b)$$   .$$$$

2. Eine Funktion $f:I \rightarrow \mathbb{R}$ ist (streng) konvex, wenn für alle offenen Teilintervalle $(a, b) \subset I$ und $t\in (0,1)$ stets gilt:
   $$f((1-t)a+tb) \quad\genfrac{}{}{0pt}{}{\leqslant}{(<)}\quad (1-t)\,f(a) + t\,f(b)$$   .$$$$

Bemerkung 2.4.9 (Komposition konvexer Funkt.)  

Gegeben seien Intervalle $I$, $J$ und Funktionen $I \stackrel{f}{\rightarrow} J \stackrel{g}{\rightarrow} \mathbb{R}$

1. Wenn $f$ (streng) konvex und $g$ konvex und (streng ) monoton wachsend ist, dann ist $g \circ f$ (streng) konvex.
2. Wenn $f$ (streng) konkav und $g$ konvex und (streng ) monoton fallend ist, dann ist $g \circ f$ (streng) konvex.

Beweis . Es seien $a$, $b \in I$ und $t\in (0,1)$:

1. Da $f$ (streng) konvex und $g$ konvex und (streng ) monoton wachsend ist:

   $$g(f((1-t)a+tb)) \quad \genfrac{}{}{0pt}{}{\leqslant}{(<)}\quad g( (1-t)\,f(a) + t\,f(b))$$

   $$\leqslant (1-t)\,g(f(a)) + t\,g(f(b))$$

   
   

2. Es ist $f$ (streng) konkav:
   $$f((1-t)a+tb) \quad\genfrac{}{}{0pt}{}{\geqslant}{(>)}\quad (1-t)\,f(a) + t\,f(b)$$.$$$$
   Da $g$ streng monoton fallend und konvex ist, folgt

   $$g(f((1-t)a+tb)) \quad \genfrac{}{}{0pt}{}{\leqslant}{(<)}\quad g( (1-t)\,f(a) + t\,f(b))$$

   $$\leqslant (1-t)\,g(f(a)) + t\,g(f(b))$$

   
   

Bemerkung 2.4.10 (Umkehrf. einer konvexen Funkt.)  

Es seien $I$, $J \subset \mathbb{R}$ Intervalle, $f:I\rightarrow J$ bijektiv mit Umkehrfunktion $g: J\rightarrow I$. Dann gilt:

1. $f$ ist genau dann streng monoton wachsend und (streng) konvex, wenn $g$ streng monton wachsend und (streng) konkav ist.
2. $f$ ist genau dann streng monoton fallend und (streng) konvex, wenn $g$ streng monton fallend und (streng) konvex ist.
3. $f$ ist genau dann streng monoton fallend und (streng) konkav, wenn $g$ streng monton fallend und (streng) konkav ist.

Beweis . Die Monotonieeigenschaften der Umkehrfunktion wurden bereits in Satz gezeigt. Wir zeigen jeweils den Fall strenger Konvexität bzw. strenger Konkavität.

Es seien $a$, $b \in I$, $\alpha:=f(a)$, $\beta:=f(b)$ und $t\in (0,1)$.

1. Aus $f((1-t)\,a + t\,b) < (1-t)\,f(a) + t\,f(b)$ folgt

   $$(1-t)\,g(\alpha)+t\,g(\beta) = (1-t)\,a +t\,b = g(f((1-t)\,a+t\,b))$$

   $$<g((1-t)\,f(a)+t\,f(b))= g((1-t)\,\alpha +t\,\beta)$$

   
   
   Also ist $g$ konkav.
2. Aus $f((1-t)\,a + t\,b) < (1-t)\,f(a) + t\,f(b)$ folgt

   $$(1-t)\,g(\alpha)+t\,g(\beta) = (1-t)\,a +t\,b = g(f((1-t)\,a+t\,b))$$

   $$>g((1-t)\,f(a)+t\,f(b))= g((1-t)\,\alpha +t\,\beta)$$

   
   
   Also ist $g$ konvex.
3. Behauptung (3.) folgt analog zu (2.).

Lemma 2.4.11 (Steigung konvexer Funktionen)   Es seien $I\subset \mathbb{R}$ ein nichtausgeartetes Intervall und $f:I \rightarrow \mathbb{R}$. Die folgenden Aussagen sind äquivalent:

1. Die Funktion $f$ ist (streng) konvex.
2. Für jedes $a\in I$ ist die Steigung
   $$x \mapsto \frac{f(x)-f(a)}{x-a}$$       für $x \in I$, $a<x$,$$$$
   (streng) monoton wachsend.
3. Für jedes $a\in I$ ist die Steigung
   $$x \mapsto \frac{f(x)-f(a)}{x-a}$$       für $x \in I$, $x<a$,$$$$
   (streng) monoton wachsend.
4. Für jedes $a\in I$ und für $x$, $y \in I$, $x<a<y$ ist
   $$\frac{f(a)-f(x)}{a-x} \quad\genfrac{}{}{0pt}{}{\leqslant}{(<)}\quad \frac{f(y)-f(a)}{y-a}$$

Korollar 2.4.12  

Wenn $f$ (streng) konvex ist, so ist die Steigung

$$(x,y) \mapsto \frac{f(x)-f(y)}{x-y}$$       für $x,y\in I$, $x\not= y$,$$$$

in beiden Variablen $(x,y)$ (streng) monoton wachsend.

Beweis .

     $$f(x) \leqslant f(a) + \frac{f(y)-f(a)}{y-a}(x-a)$$

$$\Leftrightarrow\quad \frac{f(x)-f(a)}{x-a} \leqslant \frac{f(y)-f(a)}{y-a}$$

     Analog.

     Da $\frac{y-a}{y-x}+\frac{a-x}{y-x}=1$ gilt:

$$f(a) \leqslant f(x) + \frac{f(y)-f(x)}{y-x}(a-x)$$

$$\Leftrightarrow\quad \textstyle \frac{y-a}{y-x}f(a)+\frac{a-x}{y-x}f(a) \textstyle \leqslant \frac{y-a}{y-x}f(x)+\frac{a-x}{y-x}f(y)$$

$$\Leftrightarrow\quad \textstyle \frac{y-a}{y-x}\Bigl(f(a)-f(x)\Bigr) \textstyle \leqslant \frac{a-x}{y-x}\Bigl(f(y)-f(a)\Bigr)$$

$$\Leftrightarrow\quad \frac{f(a)-f(x)}{a-x} \leqslant \frac{f(y)-f(a)}{y-a}$$

Beispiele 2.4.13 (Konvexität der Potenzfkt.)  

1. Für $n=2,3,\dots$ ist die Potenzfunktion
   $$p_n: (0,\infty) \ni x \mapsto x^n$$
   streng monoton wachsend und streng konvex:
2. Für $n=2,3,\dots$ ist die Wurzelfunktion
   $$p_{\frac{1}{n}} : (0,\infty) \ni x \mapsto x^{\frac{1}{n}}$$
   streng monoton wachsend und streng konkav.
3. Die Inversion $p_{-1}: (0,\infty)\ni x \mapsto x^{-1}$ ist streng monoton fallend und streng konvex.
4. Für $m$, $n\in \mathbb{N}$ ist die Potenzfunktion
   $$p_{-\frac{m}{n}}: (0,\infty) \ni x \mapsto x^{-\frac{m}{n}}$$
   streng monoton fallend und streng konvex.

Beweis .

1. Für $0<a<x<y$ gilt für die Steigungen:
   $$\frac{x^n-a^n}{x-a} = \sum_{k=0}^{n-1} x^ka^{n-1-k} < \sum_{k=0}^{n-1} y^k a^{n-1-k} = \frac{y^n-a^n}{y-a}$$

2. Nach Bemerkung ist die Umkehrfunktion streng monoton wachsend und streng konkav.
3. Für $0<a<x<y$ gilt für die Steigungen:
   $$\frac{x^{-1}-a^{-1}}{x-a} = -\frac{1}{ax} < -\frac{1}{ay} = \frac{y^{-1}-a^{-1}}{y-a}$$   .$$$$

4. Es seien $m$, $n\in \mathbb{N}$.

   Da $p_{\frac{1}{n}}$ streng monoton wachsend und konkav ist und $p_{-1}$ streng monoton fallend und konvex ist, ist nach Bemerkung (2.) die Komposition $p_{-\frac{1}{n}}$ streng monoton fallend und streng konvex.

   Da $p_m$ streng monoton wachsend und streng konvex ist, ist nach Bemerkung (1) die Komposition $p_{-\frac{m}{n}}$ streng monoton fallend und streng konvex.

Feststellung 2.4.14 (Lipschitz-Stet. konvexer Fktn.)  

Es seien $I\subset \mathbb{R}$ ein offenes Intervall und $f:I \rightarrow \mathbb{R}$.

Für jedes kompakte Teilintervall $J = [a,b]\subset I$ ist die Einschränkung $f\vert _J$ Lipschitz-stetig.

Wenn $c$,$d \in I$ mit $c<a<b<d$, dann ist

$$L := \max\Bigl\{ \Bigl\vert\frac{f(a)-f(c)}{a-c}\Bigr\vert, \Bigl\vert\frac{f(d)-f(b)}{d-b}\Bigr\vert\Bigr\}=$$

eine Lipschitz-Konstante für $f\vert _J$.

Beweis . Es seien $c$,$d \in I$ mit $c<a<b<d$. Nach Korollar gilt für $a\leqslant x<y\leqslant b$

$$\frac{f(a)-f(c)}{a-c} \leqslant \frac{f(y)-f(x)}{y-x} \leqslant \frac{f(d)-f(b)}{d-b}$$

und somit

$$\textstyle \vert f(y)-f(x)\vert \leqslant \max\Bigl\{ \Bigl\ver... ...-c}\Bigr\vert, \Bigl\vert\frac{f(d)-f(b)}{d-b}\Bigr\vert\Bigr\}\,\vert y-x\vert$$   .$$$$

Bemerkung. Die Definition der Konvexität und die Feststellung gelten entsprechend für konvexe Funktionen $f: I\cap \mathbb{Q}\rightarrow \mathbb{R}$.

Korollar 2.4.15   Es sei $I\subset \mathbb{R}$ ein offenes Intervall. Eine (streng) konvexe Funktion $f: I\cap \mathbb{Q}\rightarrow \mathbb{R}$ hat eine eindeutige stetige Fortsetzung $\widetilde{f}: I \rightarrow \mathbb{R}$. $\widetilde{f}$ ist auch (streng) konvex.

Beweis . Für alle $J = [a,b]\subset I$ mit rationalen Endpunkten $a$, $b \in I\cap\mathbb{Q}$, $a < b$, ist die Einschränkung $f\vert _{J\cap\mathbb{Q}}$ Lipschitz-stetig und hat nach Satz eine eindeutige stetige Fortsetzung auf $[a,b]$.

Wenn zwei derartige Intervalle $[a_1,b_1]$ und $[a_2,b_2]$ einen nichtleeren Durchschnitt haben, so ist der Durchschnitt ein rationaler Punkt oder ein nichtausgeartetes Intervall mit rationalen Endpunkten.

In beiden Fällen stimmen die jeweiligen Fortsetzungen auf dem Durchschnitt überein.

Nach Bemerkung gibt es zu $x \in I$ rationale $a$, $b \in I\cap\mathbb{Q}$ mit $a<x<b$.

Also hat $f$ eine eindeutige stetige Fortsetzung $\widetilde{f}$ auf ganz $I$.

Nach Lemma und Beispiel ist $\widetilde{f}$ ist wieder (streng) konvex.