Konvergente Teilfolgen

Definition 2.7.1 (Teilfolge)  

Es seien $(a_n)_{n\in\mathbb{N}}$ eine Folge und $(n_k)_{k\in\mathbb{N}}$ eine streng monoton wachsende Folge in $\mathbb{N}$. Die durch

$$\mathbb{N}\ni k \mapsto a_{n_k}$$

definierte Folge $(a_{n_k})_{k\in\mathbb{N}}$ heißt Teilfolge der Folge $(a_n)_n$.

Bemerkung Der Begriff Teilfolge ist ein Spezialfall des Begriffs Komposition von Funktionen:

Nach Definition ist eine Folge eine Abbildung $a:\mathbb{N}\rightarrow \mathbb{R}$. Ist $\phi : \mathbb{N}\rightarrow \mathbb{N}$ strikt monoton wachsend, dann heißt die Komposition $a\circ\phi = (a_{\phi(k)})_k$ eine Teilfolge der Folge $(a_n)_n$.

Man schreibt kurz $n_k :=\phi(k)$ und $(a_{n_k})_{_k} :=a\circ\phi$.

Beispiele 2.7.2 (Teilfolgen)  

1. Teilfolgen der Folge $(a_n)_n$ sind

   $$(a_{2k})_k = a_2,a_4,a_6,\dots$$

   $$(a_{2k-1})_k = a_1,a_3,a_5,\dots$$

   
   

2. Zu zwei Folgen $(a_k)_k$ und $(b_k)_k$ bilde man die Reißverschlußfolge (vgl. )
   $$c_n :=\left\{ \begin{array}{ll} a_k &\text{f\uml ur \( n=2k \),}\\ b_k &\text{f\uml ur \( n=2k-1 \)} \end{array}\right. \quad (n\in\mathbb{N})$$.$$$$
   Dann sind $(a_k)_k$ und $(b_k)_k$ Teilfolgen von $(c_n)_n$:
   $$(a_k)_k = (c_{2k})_k$$   und$$\quad (b_k)_k = (c_{2k-1})_k$$   .$$$$

3. Die divergente Folge $a_n :=(-1)^n$, $(n\in\mathbb{N})$ hat konvergente Teilfolgen $(a_{2k})_k$ und $(a_{2k-1})_k$.

Als Spezialfall von Satz erhalten wir unmittelbar:

Bemerkung 2.7.3 (Teilfolgen konvergenter Folgen)  

Jede Teilfolge einer konvergenten Folge ist konvergent und hat den gleichen Grenzwert.

Beispiele 2.7.4   Gegeben sei die Folge

$$(a_n)_{n=0}^\infty :=0,\, \underbrace{0, \frac{1}{2}},\, \underbr... ...}},\, \underbrace{0, \frac{1}{8},\dots,\frac{7}{8}},\, 0, \frac{1}{16}, \dots$$

Zn jeder reellen Zahl $x \in [0,1]$ gibt es eine monoton wachsende Teilfolge $(a_{n_k})_k$, die gegen $x$ konvergiert.

Beweis . Für $k\in\mathbb{N}_0$ setze man:

$$l_k = \max\{ l \mid l\in \{0,1,\dots, 2^k-1\}, \ \frac{l}{2^k} \leqslant x \}$$   ,$$$$

dann gilt

$$\lim_{k\to\infty}a_{2^k+l_k} = x$$   .$$$$

Satz 2.7.5 (von Bolzano-Weierstraß)  

Jede beschränkte Folge reeller Zahlen hat eine konvergente Teilfolge.

BOLZANO, Bernard, (1781-1848), Buch: Paradoxien des Unendlichen (1851).

WEIERSTRASS, Karl (1815-1897).

Zum Beweis zeigen wir ein Lemma:

Lemma 2.7.6 (Existenz monotoner Teilfolgen)  

Jede Folge in $\mathbb{R}$ hat eine monotone Teilfolge.

Beweis des Lemmas. Für diesen Beweis verwenden wir die folgende Bezeichnung:

Eine $m \in \mathbb{N}$ heiße eine Spitze der Folge $(a_n)_n$, wenn für alle $n > m$ das Glied $a_m > a_n$ ist.

Wir unterscheiden zwei Fälle:

Es gibt nur endlich viele Spitzen:

Es sei $m \in \mathbb{N}$ die größte Spitze. Wir konstrieren rekursiv eine monoton wachsende Teilfolge $(a_{n_k})_{k\in\mathbb{N}}$:

Startwert:

$n_1 = m+1$.

Rekursion:

Es seien $n_1 < n_2 < \dots < n_k$ bereits konstruiert, so daß $a_{n_1} \leqslant a_{n_2} \leqslant \dots \leqslant a_{n_k}$ ist. Da $n_k$ keine Spitze ist, gibt es ein $l > n_k$ mit $a_l \geqslant a_{n_k}$. Man setze (vgl. Satz )

$$n_{k+1} :=\min\{ l \mid l\in\mathbb{N},\, l> n_k,\, a_l \geqslant a_{n_k}\}$$   .$$$$

Es gibt unendlich viele Spitzen:

Wir numerieren die Spitzen durch und erhalten eine streng monoton fallende Teilfolge $(a_{n_k})_{k\in\mathbb{N}}$:

Startwert:

$n_1 :=\min\{ l \mid l\in\mathbb{N},\, l$    Spitze$\}$.

Rekursion:

Es seien $n_1 < n_2 < \dots < n_k$ bereits konstruiert, so daß $a_{n_1} > a_{n_2} > \dots > a_{n_k}$ ist. Dann gibt es eine Spitze $l \in \mathbb{N}$ mit $l > n_k$. Man setze (vgl. Satz )

$$n_{k+1} :=\min\{ l \mid l\in\mathbb{N},\, l> n_k,\, l$$    Spitze$$\}$$   .$$$$

Da alle $n_k$ Spitzen sind ist $a_{n_1} > a_{n_2} > \dots$.

Beweis (Satz von Bolzano-Weierstraß).

Da nach Satz jede beschränkte monotone Folge in $\mathbb{R}$ konvergent ist, folgt der Satz unmittelbar aus Lemma .

Man kann die großen Sätze des Abschnittes über stetige Funktionen auf kompakten Intervallen auch mit Hilfe des Satzes von Bolzano-Weierstraß beweisen.

Beispiele 2.7.7   Wir führen dies am Satz (Satz von der gleichmäßigen Stetigkeit) vor:

Beweis (Satz von der gleichmäßigen Stetigkeit).

Wenn $f:I \rightarrow \mathbb{R}$ nicht gleichmäßig stetig ist, gibt es ein $\varepsilon _0 > 0$ und Folgen $(x_n)_n$, $(y_n)_n$ in $I$ so, daß

$$\vert x_n-y_n\vert<\frac{1}{n}$$   und$$\quad \vert f(x_n)-f(y_n)\vert \geqslant \varepsilon _0$$   .$$$$

Es existiert eine konvergente Teilfolge $\ (x_{n_k})_{_k}$. Da $I$ kompakt ist, liegt $c :=\lim\limits_{k\to\infty} x_{n_k}$ in $I$. Da $\lim\limits_{k\to\infty} \frac{1}{n_k} = 0$ ist, gilt

$$\lim_{k\to\infty}y_{n_k} = \lim_{k\to\infty} x_{n_k}$$

Da $f$ stetig ist, folgt ein Widerspruch:

$$0 = \vert f(c)-f(c)\vert = \lim_{k\to\infty}\vert f(x_{n_k})-f(y_{n_k})\vert \geqslant \varepsilon _0 > 0$$   .$$$$