Riemannsche Summen von Regelfunktionen

Bemerkung. Die Riemannschen Summen $S(f,Z,\Xi)$ approximieren auch das Integral einer Regelfunktion $f$.

Die Riemannschen Summen von Regelfunktionen werden vorwiegend dazu verwendet, gewisse Eigenschaften endlicher Summen auf Integrale zu übertragen.

Lemma 3.1.30   Es sei $t:[a,b]\rightarrow \mathbb{R}$ eine Treppenfunktion. Dann gibt es zu jedem $\varepsilon >0$ ein $\delta>0$, so daß für jede Zerlegung

$$Z = \{ a=x_0<\dots<x_k=b \}$$

von $[a,b]$ der Feinheit

$$d(Z)< \delta$$

und jede Wahl von Stützstellen

$$\Xi = \{ \xi_1,\dots,\xi_k \}$$   mit$$\quad \xi_\varkappa\in[x_{\varkappa-1},x_\varkappa]$$    für $$\varkappa=1,\dots,k,$$

die Riemannsche Summe $\ S(t,Z,\Xi) \$das Integral mit einem Fehler, der kleiner als $\varepsilon$ist, approximiert:

$$\textstyle \bigl\vert\; S(t,Z,\Xi)\ -\int\limits_{[a,b]}\!t\ \bigr\vert < \varepsilon$$   .$$$$

Beweis . Zu der Treppenfunktion $t\not= 0$ gibt es eine Zerlegung

$$Z^* = \{ a=z_0^*<\dots<z_l^*=b \}$$   ,$$$$

so daß $t\vert(z_{\lambda-1}^*,z_\lambda^*) = c_\lambda$ konstant ist. Man setze

$$\delta :=\frac{\varepsilon }{4(l+1)\Vert t\Vert}$$ .$$$$

Es sei nun

$$Z = \{ a=x_0<\dots<x_k=b \}$$

eine Zerlegung. Durch Induktion über die Anzahl $l$ der Teilpunkte zeigt man: Es gibt höchstens $2(l+1)$ abgeschlossene Teilintervalle $[x_{\varkappa-1},x_\varkappa]$, die einen der Punkte $z_\lambda^*$ enthalten. Es sei

$$M :=\{ \varkappa \mid \varkappa\in\{1,\dots,k\},\ \exists\; z_\lambda^*\in [x_{\varkappa-1},x_\varkappa]\, \}$$   .$$$$

und

$$N:=\{1,\dots,k\}\setminus N$$   .

Wenn die Feinheit $d(Z)<\delta$, dann folgt für jede zulässige Wahl von Stützstellen $\Xi = \{ \xi_1,\dots,\xi_k \}$:

$$S(t,Z,\Xi) -{\textstyle\int\limits_{[a,b]}\!t}$$

$$= \sum_{\varkappa\in M} \Bigl( f(\xi_\varkappa)(x_\varkappa\!-\!x... ... -\!\!{\textstyle \int\limits_{[x_{\varkappa-1},x_\varkappa]}\!\!\!\!t}\ \Bigr)$$

$$\qquad + \sum_{\varkappa\in N} \Bigl( f(\xi_\varkappa)(x_\varkapp... ...-\!\! {\textstyle\int\limits_{[x_{\varkappa-1},x_\varkappa]}\!\!\!\!t\ } \Bigr)$$

$$= \sum_{\varkappa\in M} \Bigl( f(\xi_\varkappa)(x_\varkappa\!-\!x... ...)\ -\!\! {\textstyle\int\limits_{[x_{\varkappa-1},x_\varkappa]}\!\!\!t}\ \Bigr)$$

Man beachte, daß die Summanden für $\varkappa\in N$ verschwinden, da $f\big\vert[x_{\varkappa-1},x_\varkappa]$ konstant ist. Folglich gilt

$$\bigl\vert\, S(t,Z,\Xi)\ -{\textstyle\int\limits_{[a,b]}\!t} \,\bigr\vert \ <\ 2\,(l+1)\, 2\,\Vert t\Vert\, \delta = \varepsilon .$$

Satz 3.1.31 (Aproximation durch Riemann-Summen)   Es sei $f\in \mathcal{R}([a,b])$. Dann gibt es zu jedem $\varepsilon >0$ ein $\delta>0$, so daß für jede Zerlegung

$$Z = \{ a=x_0<\dots<x_k=b \}$$

von $[a,b]$ der Feinheit

$$d(Z)< \delta$$

und jede Wahl von Stützstellen

$$\Xi = \{ \xi_1,\dots,\xi_k \}$$   mit$$\quad \xi_\varkappa\in[x_{\varkappa-1},x_\varkappa]$$    für $$\varkappa=1,\dots,k,$$

die Riemannsche Summe $\ S(t,Z,\Xi) \$das Integral mit einem Fehler, der kleiner als $\varepsilon$ist, approximiert:

$$\textstyle \bigl\vert\; S(f,Z,\Xi)\ -\int\limits_{[a,b]}\!f \bigr\vert < \varepsilon$$   .$$$$

Beweis . Zu der Regelfunktion $f\in \mathcal{R}([a,b])$ gibt es eine Treppenfunktion $t$, so daß auf $[a,b]$ gilt:

$$\Vert f-t\Vert < \frac{\varepsilon }{(b-a)}$$.$$$$

Zu $t$ gibt es nach Lemma ein $\delta>0$, so daß für jede Zerlegung $Z$ der Feinheit $d(Z)<\delta$ und jede zulässige Wahl von Stützstellen $\Xi$ stets

$$\textstyle \bigl\vert\; S(t,Z,\Xi)\ -\int\limits_{[a,b]}\!t\ \bigr\vert < \varepsilon$$   .$$$$

ist. Dann folgt

$$\bigl\vert\, S(f,Z,\Xi) \textstyle\ - \int\limits_{[a,b]}\!f \,\bigr\vert$$

$$\textstyle \leqslant\ \bigl\vert\, S((f-t),Z,\Xi)\, \bigr\vert$$

$$\textstyle\strut\qquad + \bigl\vert\, S(t,Z,\Xi)\ -\int\limits_{[... ...bigr\vert + \bigl\vert\, \int\limits_{[a,b]}\!(t-f) \,\bigr\vert < 3\varepsilon$$

Korollar 3.1.32 (Konvergenz der Riemann-Summen)   Es sei $f\in \mathcal{R}([a,b])$. Für jede Folge $(Z_n)_N$ von Zerlegungen des Intervalls $[a,b]$, deren Feinheit gegen Null strebt:

$$d(Z_n)\to 0$$,$$$$

und jede zulässige Wahl von Stützpunkten $\Xi_n$, $(n\in\mathbb{N})$, konvergieren die Riemannschen Summen gegen das Integral von $f$:

$$\textstyle \lim\limits_{n\to\infty}S(f,Z_n,\Xi_n) = \int\limits_{[a,b]}f$$

Bemerkung Dagegen approximieren die entsprechenden Treppenfunktionen $t_{(f,Z_n,\Xi_n)}$ (Def. ) im allgemeinen die Funktion $f$ nicht gleichmäßig. In der $L_1$-Norm gilt aber:

$$\textstyle \lim\limits_{n\to\infty} \Vert f-t_n \Vert _1 := \lim\limits_{n\to\infty} \int\limits_{[a,b]} \vert f-t_n\vert = 0$$   .$$$$

Konvergenz in der $L_1$-Norm untersuchen wir in Analysis III.