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Riemannsche Summen von Regelfunktionen

Bemerkung. Die Riemannschen Summen $ S(f,Z,\Xi) $ approximieren auch das Integral einer Regelfunktion $ f$.

Die Riemannschen Summen von Regelfunktionen werden vorwiegend dazu verwendet, gewisse Eigenschaften endlicher Summen auf Integrale zu übertragen.

Lemma 3.1.30   Es sei $ t:[a,b]\rightarrow \mathbb{R}$ eine Treppenfunktion. Dann gibt es zu jedem $ \varepsilon >0$ ein $ \delta>0$, so daß für jede Zerlegung

$\displaystyle Z = \{ a=x_0<\dots<x_k=b \}
$

von $ [a,b] $ der Feinheit

$\displaystyle d(Z)< \delta
$

und jede Wahl von Stützstellen

$\displaystyle \Xi = \{ \xi_1,\dots,\xi_k \}$   mit$\displaystyle \quad \xi_\varkappa\in[x_{\varkappa-1},x_\varkappa]$    für $\displaystyle \varkappa=1,\dots,k,
$

die Riemannsche Summe $ \ S(t,Z,\Xi) \ $das Integral mit einem Fehler, der kleiner als $ \varepsilon$ist, approximiert:

$\displaystyle \textstyle
\bigl\vert\; S(t,Z,\Xi)\ -\int\limits_{[a,b]}\!t\ \bigr\vert < \varepsilon$   .$\displaystyle $

Beweis . Zu der Treppenfunktion $ t\not= 0 $ gibt es eine Zerlegung

$\displaystyle Z^* = \{ a=z_0^*<\dots<z_l^*=b \}$   ,$\displaystyle $

so daß $ t\vert(z_{\lambda-1}^*,z_\lambda^*) = c_\lambda $ konstant ist. Man setze

$\displaystyle \delta :=\frac{\varepsilon }{4(l+1)\Vert t\Vert}$ .$\displaystyle $

Es sei nun

$\displaystyle Z = \{ a=x_0<\dots<x_k=b \}
$

eine Zerlegung. Durch Induktion über die Anzahl $ l $ der Teilpunkte zeigt man: Es gibt höchstens $ 2(l+1) $ abgeschlossene Teilintervalle $ [x_{\varkappa-1},x_\varkappa] $, die einen der Punkte $ z_\lambda^* $ enthalten. Es sei

$\displaystyle M :=\{ \varkappa \mid \varkappa\in\{1,\dots,k\},\
\exists\; z_\lambda^*\in [x_{\varkappa-1},x_\varkappa]\, \}$   .$\displaystyle $

und

$\displaystyle N:=\{1,\dots,k\}\setminus N$   .

Wenn die Feinheit $ d(Z)<\delta $, dann folgt für jede zulässige Wahl von Stützstellen $ \Xi = \{ \xi_1,\dots,\xi_k \} $:

$\displaystyle S(t,Z,\Xi)$ $\displaystyle -{\textstyle\int\limits_{[a,b]}\!t}$    
  $\displaystyle = \sum_{\varkappa\in M} \Bigl( f(\xi_\varkappa)(x_\varkappa\!-\!x...
... -\!\!{\textstyle \int\limits_{[x_{\varkappa-1},x_\varkappa]}\!\!\!\!t}\ \Bigr)$    
  $\displaystyle \qquad + \sum_{\varkappa\in N} \Bigl( f(\xi_\varkappa)(x_\varkapp...
...-\!\! {\textstyle\int\limits_{[x_{\varkappa-1},x_\varkappa]}\!\!\!\!t\ } \Bigr)$    
  $\displaystyle = \sum_{\varkappa\in M} \Bigl( f(\xi_\varkappa)(x_\varkappa\!-\!x...
...)\ -\!\! {\textstyle\int\limits_{[x_{\varkappa-1},x_\varkappa]}\!\!\!t}\ \Bigr)$    

Man beachte, daß die Summanden für $ \varkappa\in N $ verschwinden, da $ f\big\vert[x_{\varkappa-1},x_\varkappa] $ konstant ist. Folglich gilt

$\displaystyle \bigl\vert\, S(t,Z,\Xi)\ -{\textstyle\int\limits_{[a,b]}\!t} \,\bigr\vert
\ <\ 2\,(l+1)\, 2\,\Vert t\Vert\, \delta = \varepsilon .
$

Satz 3.1.31 (Aproximation durch Riemann-Summen)   Es sei $ f\in \mathcal{R}([a,b]) $. Dann gibt es zu jedem $ \varepsilon >0$ ein $ \delta>0$, so daß für jede Zerlegung

$\displaystyle Z = \{ a=x_0<\dots<x_k=b \}
$

von $ [a,b] $ der Feinheit

$\displaystyle d(Z)< \delta
$

und jede Wahl von Stützstellen

$\displaystyle \Xi = \{ \xi_1,\dots,\xi_k \}$   mit$\displaystyle \quad \xi_\varkappa\in[x_{\varkappa-1},x_\varkappa]$    für $\displaystyle \varkappa=1,\dots,k,
$

die Riemannsche Summe $ \ S(t,Z,\Xi) \ $das Integral mit einem Fehler, der kleiner als $ \varepsilon$ist, approximiert:

$\displaystyle \textstyle
\bigl\vert\; S(f,Z,\Xi)\ -\int\limits_{[a,b]}\!f \bigr\vert < \varepsilon$   .$\displaystyle $

Beweis . Zu der Regelfunktion $ f\in \mathcal{R}([a,b]) $ gibt es eine Treppenfunktion $ t $, so daß auf $ [a,b] $ gilt:

$\displaystyle \Vert f-t\Vert < \frac{\varepsilon }{(b-a)}$.$\displaystyle $

Zu $ t $ gibt es nach Lemma [*] ein $ \delta>0$, so daß für jede Zerlegung $ Z$ der Feinheit $ d(Z)<\delta $ und jede zulässige Wahl von Stützstellen $ \Xi $ stets

$\displaystyle \textstyle
\bigl\vert\; S(t,Z,\Xi)\ -\int\limits_{[a,b]}\!t\ \bigr\vert < \varepsilon$   .$\displaystyle $

ist. Dann folgt

$\displaystyle \bigl\vert\, S(f,Z,\Xi)$ $\displaystyle \textstyle\ - \int\limits_{[a,b]}\!f \,\bigr\vert$    
  $\displaystyle \textstyle \leqslant\ \bigl\vert\, S((f-t),Z,\Xi)\, \bigr\vert$    
  $\displaystyle \textstyle\strut\qquad + \bigl\vert\, S(t,Z,\Xi)\ -\int\limits_{[...
...bigr\vert + \bigl\vert\, \int\limits_{[a,b]}\!(t-f) \,\bigr\vert < 3\varepsilon$   .    

Korollar 3.1.32 (Konvergenz der Riemann-Summen)   Es sei $ f\in \mathcal{R}([a,b]) $. Für jede Folge $ (Z_n)_N $ von Zerlegungen des Intervalls $ [a,b] $, deren Feinheit gegen Null strebt:

$\displaystyle d(Z_n)\to 0$,$\displaystyle $

und jede zulässige Wahl von Stützpunkten $ \Xi_n $, $ (n\in\mathbb{N}) $, konvergieren die Riemannschen Summen gegen das Integral von $ f$:

$\displaystyle \textstyle
\lim\limits_{n\to\infty}S(f,Z_n,\Xi_n)
= \int\limits_{[a,b]}f
$

Bemerkung Dagegen approximieren die entsprechenden Treppenfunktionen $ t_{(f,Z_n,\Xi_n)} $ (Def. [*]) im allgemeinen die Funktion $ f$ nicht gleichmäßig. In der $ L_1 $-Norm gilt aber:

$\displaystyle \textstyle
\lim\limits_{n\to\infty} \Vert f-t_n \Vert _1 :=
\lim\limits_{n\to\infty} \int\limits_{[a,b]} \vert f-t_n\vert = 0$   .$\displaystyle $

Konvergenz in der $ L_1 $-Norm untersuchen wir in Analysis III.


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Analysis1-A.Lambert 2001-02-09