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Bemerkung. Die Riemannschen Summen
approximieren auch das Integral einer Regelfunktion .
Die Riemannschen Summen von Regelfunktionen
werden vorwiegend dazu verwendet,
gewisse Eigenschaften endlicher Summen auf Integrale
zu übertragen.
Lemma 3.1.30
Es sei
eine Treppenfunktion.
Dann gibt es zu jedem
ein
, so daß
für jede Zerlegung
von
der Feinheit
und jede Wahl von Stützstellen
die Riemannsche Summe
das Integral mit einem
Fehler, der kleiner als
ist, approximiert:
.
Beweis . Zu der Treppenfunktion gibt es eine Zerlegung
,
so daß
konstant ist.
Man setze
.
Es sei nun
eine Zerlegung.
Durch Induktion über die Anzahl der Teilpunkte zeigt man:
Es gibt höchstens abgeschlossene Teilintervalle
, die einen der Punkte
enthalten. Es sei
.
und
.
Wenn die Feinheit
, dann folgt für jede
zulässige Wahl von Stützstellen
:
Man beachte, daß die Summanden für
verschwinden, da
konstant ist.
Folglich gilt
Satz 3.1.31 (Aproximation durch Riemann-Summen)
Es sei
.
Dann gibt es zu jedem
ein
, so daß
für jede Zerlegung
von
der Feinheit
und jede Wahl von Stützstellen
die Riemannsche Summe
das Integral mit einem
Fehler, der kleiner als
ist, approximiert:
.
Beweis . Zu der Regelfunktion
gibt es eine
Treppenfunktion , so daß auf gilt:
.
Zu gibt es nach Lemma
ein , so daß
für jede Zerlegung der Feinheit
und jede zulässige Wahl von Stützstellen stets
.
ist. Dann folgt
Korollar 3.1.32 (Konvergenz der Riemann-Summen)
Es sei
.
Für jede Folge
von Zerlegungen des Intervalls
, deren Feinheit gegen Null strebt:
,
und jede zulässige Wahl von Stützpunkten
,
,
konvergieren die Riemannschen Summen gegen das Integral von
:
Bemerkung
Dagegen approximieren die entsprechenden Treppenfunktionen
(Def. )
im allgemeinen die Funktion
nicht gleichmäßig. In der -Norm
gilt aber:
.
Konvergenz in der -Norm untersuchen wir in Analysis III.
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Analysis1-A.Lambert
2001-02-09