Logarithmus als Stammfunktion

Bemerkung. Wir untersuchen die Stammfunktion

$$(0,\infty)\ni x \stackrel{L}{\mapsto}\int_1^x \xi^{-1}\,d\xi$$   .$$$$

und zeigen, daß $L(x) = \log x$ der natürliche Logarithmus ist.

Die Bezeichnung $L$ verwenden wir nur im Beweis des folgenden Satzes.

Zur Identifizierung $L=\log$ benötigen wir eine Charakterisierung der Exponentialfunktion.

Bemerkung 3.1.28 (Funktionalgleichung)  

Es sei $E:\mathbb{R}\rightarrow (0,\infty)$ stetig und es gelte

$$E(s+t) = E(s)\cdot E(t)$$   für $s,t\in\mathbb{R}$.$$$$

und $E(1) = e$. Dann gilt $E(x) = e^x$ für $x \in \mathbb{R}$.

Beweis . Induktiv folgt

$$E(n)= e^n$$   für $n\in \mathbb{N}$.$$$$

Weiterhin folgt aus der Funktionalgleichung

$$E(0) = 1$$   und$$\quad E(-n) = e^{-n}$$   für $n\in \mathbb{N}$.$$$$

Aus der Eindeutigkeit der $n$-ten Wurzel folgt

$$E({\textstyle\frac{m}{n}}) = e^{\frac{m}{n}}$$   für $m\in\mathbb{Z}$ und $n\in \mathbb{N}$.$$$$

Da $E$ stetig ist, folgt mit , daß $E(t) = e^t$ für $t\in\mathbb{R}$.

Satz 3.1.29 (Logarithmus)   Es gilt

$$\int_1^x \frac{d\xi}{\xi} = \log x$$   .$$$$

Das Integral (der Logarithmus) hat die folgenden Eigenschaften:

1. $\log 1 = 0$ und $x\mapsto \log x$ ist streng monoton wachsend.
2. $\log(xy) = \log x + \log y$
3. $\frac{x-1}{x} < \log x < x-1$ für $0<x<\infty$, $x\not=1$
4. $\log e = 1$
5. $\lim\limits_{x\to\infty}\log x = \infty$ und $\lim\limits_{x\to 0}\log x = -\infty$.
6. Die Umkehrfunktion zu $x\mapsto \log x$ ist die Exponentialfunktion $\mathbb{R}\ni t \mapsto e^t$.

Beweis . Wir bezeichnen das Integral mit $L(x) = \int_1^x \xi^{-1}d\xi$.

1. es ist $L(1) = 0$. Da der Integrand streng positiv ist, ist $L$ streng monoton wachsend.
2. Nach der Transformationsformel gilt mit der affinen Transformation $g: \xi\mapsto \eta=x\xi$, $(x>0)$:
   $$\int_x^{xy} \eta^{-1}d\eta = \int_1^y (x\xi)^{-1} x d\xi = \int_1^y \xi^{-1} d\xi = L(y)$$
   Hiermit folgt:

   $$L(xy) = \int_1^{xy} (\eta)^{-1}d\eta$$

   $$= \int_1^x \eta^{-1} d\eta + \int_x^{xy} \eta^{-1}d\eta$$

   $$= L(x) + L(y)$$

   
   

3. Für $x>1$ gilt
   $$L(x) = \int_1^x \xi^{-1}d\xi < \int_1^x 1\,d\xi = x-1$$   .$$$$
   Für $0<x<1$ gilt
   $$-L(x) = \int_x^1 \xi^{-1}d\xi > \int_x^1 1\,d\xi = 1-x$$   .$$$$
   Also gilt $L(x) < x-1$ für $0<x<\infty$, $x\not=1$.

   Dann folgt

   $$-L(x) = L(\frac{1}{x}) <\frac{1}{x}-1 = -\frac{x-1}{x}$$   .$$$$

4. Da die Stammfunktion $L$ stetig ist, folgt aus (3.)
   $$\frac{1}{1+\frac{1}{n}} = n \frac{(1+\frac{1}{n})-1}{1+\frac{1}{n}} \leqslant nL(1+\frac{1}{n}) \leqslant n((1+\frac{1}{n})-1) = 1$$   .$$$$
   Also ist $L(e) = \lim\limits_{n\to \infty}L((1+\frac{1}{n})^n) = \lim\limits_{n\to \infty}(nL(1+\frac{1}{n})) = 1$.
5. Da $L$ monoton wachsend ist, gilt $L(2)>L(1) = 0$ und
   $$\lim_{x\to\infty}L(x) = \lim_{n\to\infty}L(2^n) \lim_{n\to\infty} nL(2) = \infty.$$
   und analog $\ \lim\limits_{x\to 0}L(x)=\lim\limits_{n\to\infty}L(\frac{1}{2}^n) =-\infty$.

   also ist das Bild $L((0,\infty)) = \mathbb{R}$.

6. Es gibt die stetige, streng monoton wachsende Umkehrfunktion $E:\mathbb{R}\rightarrow (0,\infty)$ von $L$.

   Aus (4.) folgt $E(1) = e$ und aus (2.) folgt

   $$E(s+t) = E(s)\cdot E(t)$$   für $s,t\in\mathbb{R}$.$$$$
   Also gilt nach Bemerkung $E(t) = e^t$ für $t\in\mathbb{R}$ und somit nach Definition $L(x) = \log x$ für $x\in (0,\infty)$.