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Logarithmus als Stammfunktion

Bemerkung. Wir untersuchen die Stammfunktion

$\displaystyle (0,\infty)\ni x \stackrel{L}{\mapsto}\int_1^x \xi^{-1}\,d\xi$   .$\displaystyle $

und zeigen, daß $ L(x) = \log x $ der natürliche Logarithmus ist.

Die Bezeichnung $ L $ verwenden wir nur im Beweis des folgenden Satzes.

Zur Identifizierung $ L=\log $ benötigen wir eine Charakterisierung der Exponentialfunktion.

Bemerkung 3.1.28 (Funktionalgleichung)  

Es sei $ E:\mathbb{R}\rightarrow (0,\infty) $ stetig und es gelte

$\displaystyle E(s+t) = E(s)\cdot E(t)$   für $ s,t\in\mathbb{R}$.$\displaystyle $

und $ E(1) = e $. Dann gilt $ E(x) = e^x $ für $ x \in \mathbb{R}$.

Beweis . Induktiv folgt

$\displaystyle E(n)= e^n$   für $ n\in \mathbb{N}$.$\displaystyle $

Weiterhin folgt aus der Funktionalgleichung

$\displaystyle E(0) = 1$   und$\displaystyle \quad E(-n) = e^{-n}$   für $ n\in \mathbb{N}$.$\displaystyle $

Aus der Eindeutigkeit der $ n$-ten Wurzel folgt

$\displaystyle E({\textstyle\frac{m}{n}}) = e^{\frac{m}{n}}$   für $ m\in\mathbb{Z}$ und $ n\in \mathbb{N}$.$\displaystyle $

Da $ E $ stetig ist, folgt mit [*], daß $ E(t) = e^t $ für $ t\in\mathbb{R}$.

Satz 3.1.29 (Logarithmus)   Es gilt

$\displaystyle \int_1^x \frac{d\xi}{\xi} = \log x$   .$\displaystyle $

Das Integral (der Logarithmus) hat die folgenden Eigenschaften:
  1. $ \log 1 = 0 $ und $ x\mapsto \log x $ ist streng monoton wachsend.
  2. $ \log(xy) = \log x + \log y $
  3. $ \frac{x-1}{x} < \log x < x-1 $ für $ 0<x<\infty $, $ x\not=1 $
  4. $ \log e = 1 $
  5. $ \lim\limits_{x\to\infty}\log x = \infty $ und $ \lim\limits_{x\to 0}\log x = -\infty $.
  6. Die Umkehrfunktion zu $ x\mapsto \log x $ ist die Exponentialfunktion $ \mathbb{R}\ni t \mapsto e^t $.

Beweis . Wir bezeichnen das Integral mit $ L(x) = \int_1^x \xi^{-1}d\xi $.

  1. es ist $ L(1) = 0 $. Da der Integrand streng positiv ist, ist $ L $ streng monoton wachsend.
  2. Nach der Transformationsformel [*] gilt mit der affinen Transformation $ g: \xi\mapsto \eta=x\xi $, $ (x>0) $:

    $\displaystyle \int_x^{xy} \eta^{-1}d\eta
= \int_1^y (x\xi)^{-1} x d\xi = \int_1^y \xi^{-1} d\xi = L(y)
$

    Hiermit folgt:

    $\displaystyle L(xy)$ $\displaystyle = \int_1^{xy} (\eta)^{-1}d\eta$    
      $\displaystyle = \int_1^x \eta^{-1} d\eta + \int_x^{xy} \eta^{-1}d\eta$    
      $\displaystyle = L(x) + L(y)$.    

  3. Für $ x>1 $ gilt

    $\displaystyle L(x) = \int_1^x \xi^{-1}d\xi < \int_1^x 1\,d\xi = x-1$   .$\displaystyle $

    Für $ 0<x<1 $ gilt

    $\displaystyle -L(x) = \int_x^1 \xi^{-1}d\xi > \int_x^1 1\,d\xi = 1-x$   .$\displaystyle $

    Also gilt $ L(x) < x-1 $ für $ 0<x<\infty $, $ x\not=1 $.

    Dann folgt

    $\displaystyle -L(x) = L(\frac{1}{x}) <\frac{1}{x}-1 = -\frac{x-1}{x}$   .$\displaystyle $

  4. Da die Stammfunktion $ L $ stetig ist, folgt aus (3.)

    $\displaystyle \frac{1}{1+\frac{1}{n}}
= n \frac{(1+\frac{1}{n})-1}{1+\frac{1}{n}}
\leqslant nL(1+\frac{1}{n}) \leqslant n((1+\frac{1}{n})-1) = 1$   .$\displaystyle $

    Also ist $ L(e) = \lim\limits_{n\to \infty}L((1+\frac{1}{n})^n)
= \lim\limits_{n\to \infty}(nL(1+\frac{1}{n})) = 1 $.
  5. Da $ L $ monoton wachsend ist, gilt $ L(2)>L(1) = 0 $ und

    $\displaystyle \lim_{x\to\infty}L(x) = \lim_{n\to\infty}L(2^n)
\lim_{n\to\infty} nL(2) = \infty.
$

    und analog $ \ \lim\limits_{x\to 0}L(x)=\lim\limits_{n\to\infty}L(\frac{1}{2}^n)
=-\infty $.

    also ist das Bild $ L((0,\infty)) = \mathbb{R}$.

  6. Es gibt die stetige, streng monoton wachsende Umkehrfunktion $ E:\mathbb{R}\rightarrow (0,\infty) $ von $ L $.

    Aus (4.) folgt $ E(1) = e $ und aus (2.) folgt

    $\displaystyle E(s+t) = E(s)\cdot E(t)$   für $ s,t\in\mathbb{R}$.$\displaystyle $

    Also gilt nach Bemerkung [*] $ E(t) = e^t $ für $ t\in\mathbb{R}$ und somit nach Definition [*] $ L(x) = \log x $ für $ x\in (0,\infty) $.


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Analysis1-A.Lambert 2001-02-09