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Integration stetiger Funktionen

Bemerkung. Wir bringen hier nur ganz wenige Beispiele von Integralen elementarer Funktionen. Leichter berechnet man diese Integrale später mit den folgenden Hilfmitteln:

Beispiele 3.1.21  

$\displaystyle \int_0^x \xi\,d\xi = \frac{x^2}{2}$   für $ x \in \mathbb{R}$.$\displaystyle $

Bemerkung. Die zu berechnende Fläche ist ein gleichschenkliges, rechtwinkliges Dreieck mit Katheten der Länge $ \vert x\vert $. Aus der Geometrie weiß man, daß die Dreiecksfläche $ \frac{x^2}{2} $ ist.

Beweis . Wähle die äquidistante Zerlegung des Intervalls $ [0,x] $ in $ n$ Teile, $ (n\in\mathbb{N}) $:

$\displaystyle Z = \{0=x_0<x_1= \frac{x}{n}<\dots x_k=\frac{kx}{n}<\dots<x_n=x\}
$

und approximiere die Funktion $ f(\xi) = \xi $ durch die Treppenfunktion

$\displaystyle t_n : \xi \mapsto \left\{\begin{array}{ll}
\frac{kx}{n}
&\text{f\...
...,\frac{kx}{n}] \),}
\\
0 &\text{f\uml ur \( \xi = 0 \).}
\end{array}\right.
$

Die Folge $ (t_n)_n $ konvergiert gleichmäßig gegen $ f$ und somit gilt:

$\displaystyle \int_0^x t_n(\xi)\,d\xi
= \sum_{k=1}^n \frac{kx}{n}\,\frac{x}{n}
= \frac{x^2}{n^2}\,\frac{n(n+1)}{2} \to \frac{x^2}{2}
= \int_0^x f(\xi)\,d\xi$   .$\displaystyle $

Bemerkung. Für eine stetige Funktion kann man leicht approximierende Treppenfunktionen angeben:

Bezeichnung 3.1.22  

Es sei $ f: [a,b] \rightarrow \mathbb{R}$ stetig. Zu einer Zerlegung des Intervalls $ [a,b] $

$\displaystyle Z = \{ a=x_0<x_1<\dots<x_k=b \}
$

und einer Menge $ \Xi $ von Stützstellen

$\displaystyle \Xi = \{ \xi_1,\dots,\xi_k \}$   mit$\displaystyle \quad \xi_\varkappa\in[x_{\varkappa-1},x_\varkappa]$    für $\displaystyle \varkappa=1,\dots,k,
$

bildet man die Treppenfunktion

$\displaystyle t_{(f,Z,\Xi)}: x \mapsto \left\{\begin{array}{ll}
f(\xi_\varkappa...
...\uml ur \( x=x_\varkappa \),
\( (\varkappa=0,\dots,k) \).}
\end{array}\right.
$

Bezeichnung 3.1.23 (Feinheit einer Zerlegung)  

Wenn $ Z = \{ a=x_0<\dots<x_k=b \} $ eine Zerlegung ist, so heißt heißt das Maximum der Längen der Teilintervalle $ [x_{\varkappa-1},x_\varkappa] $ die Feinheit der Zerlegung. Die Feinheit wird mit

$\displaystyle d(Z) :=
\max\limits_{\varkappa=1,\dots,k} (x_\varkappa-x_{\varkappa-1})
$

bezeichnet.

Bemerkung. Wenn $ Z = \{ a=x_0<x_1<\dots<x_k=b \} $ eine Zerlegung ist, so nennen wir eine Menge von Stützstellen $ \Xi = \{ \xi_1,\dots,\xi_k \} $ zulässig, wenn $ \xi_\varkappa\in[x_{\varkappa-1},x_\varkappa] $ für $ \varkappa=1,\dots,k $ ist.

Satz 3.1.24 (Approximierende Treppenunktion)  

Es sei $ f: [a,b] \rightarrow \mathbb{R}$ stetig. Dann gibt es zu jedem $ \varepsilon >0$ ein $ \delta>0$, so daß für jede Zerlegung $ Z$ von $ [a,b] $ der Feinheit

$\displaystyle d(Z)< \delta
$

und jede zulässige Wahl von Stützstellen $ \Xi $ der Abstand von $ f$ zu der Treppenfunktion $ t_{(f,Z,\Xi)} $ kleiner als $ \varepsilon$ist:

$\displaystyle \Vert f-t_{(f,Z,\Xi)} \Vert < \varepsilon
$

Beweis . Nach Satz [*] ist $ f$ gleichmäßig stetig:

$\displaystyle \forall \varepsilon >0 \,\exists\; \delta>0 \,\forall x,y\in [a,b]\
:\ \vert x-y\vert<\delta \Rightarrow \vert f(x)-f(y)\vert<\varepsilon$   .$\displaystyle $

Für eine Zerlegung $ Z$ mit $ d(Z)<\delta $ und jede zulässige Menge von Stützpunkten gilt dann

$\displaystyle \vert f(x)-t_{(f,Z,\Xi)}(x) \vert
= \left\{\begin{array}{ll}
\ver...
...\uml ur \( x=x_\varkappa \),
\( (\varkappa=0,\dots,k) \).}
\end{array}\right.
$

und somit

$\displaystyle \Vert f-t_{(f,Z,\Xi)} \Vert < \varepsilon
$

Bezeichnung 3.1.25   Es sei $ f: [a,b] \rightarrow \mathbb{R}$ eine Funktion. Zu einer Zerlegung des Intervalls $ [a,b] $

$\displaystyle Z = \{ a=x_0<x_1<\dots<x_k=b \}
$

und einer Menge $ \Xi $ von zulässigen Stützstellen

$\displaystyle \Xi = \{ \xi_1,\dots,\xi_k \}$   mit$\displaystyle \quad \xi_\varkappa\in[x_{\varkappa-1},x_\varkappa]$    für $\displaystyle \varkappa=1,\dots,k,
$

bildet man die Riemansche Summe:

$\displaystyle S(f,Z,\Xi,) = S(Z,\Xi) :=
\sum_{\varkappa=1}^k
f(\xi_\varkappa)\,(x_\varkappa -x_{\varkappa-1})
$

BERNHARDT RIEMANN, 1826-1866

Bemerkung. Eine Riemannsche Summe ist eine endliche Summe, zu deren Berechnung man nur endlich viele Funktionswerte des Integranden brauch.

Satz 3.1.26 (Konvergenz der Riemann-Summen)  

Es sei $ f: [a,b] \rightarrow \mathbb{R}$ stetig.. Für jede Folge $ (Z_n)_N $ von Zerlegungen des Intervalls $ [a,b] $, deren Feinheit gegen Null strebt:

$\displaystyle d(Z_n)\to 0$,$\displaystyle $

und jede zulässige Wahl von Stützpunkten $ \Xi_n $, $ (n\in\mathbb{N}) $, konvergieren die Riemanschen Summen: gegen das Integral von $ f$:

$\displaystyle \textstyle
\lim\limits_{n\to\infty}S(f,Z_n,\Xi_n)
= \int\limits_{[a,b]}f
$

Beispiele 3.1.27  
  1. Man wähle die äquidistante Zerlegung des Intervalls $ [0,x] $ in $ n$ Teile:

    $\displaystyle Z = \{0=x_0<x_1= \frac{x}{n}<\dots x_k=\frac{kx}{n}<\dots<x_n=x\}
$

    und zeige

    $\displaystyle \int\limits_0^x \xi^2\,d\xi = \frac{x^3}{3}$.

  2. Man wähle die Einteilung von $ [1,x] $ mit geometrischer Progression $ q :=\sqrt[n]{\strut x} $:

    $\displaystyle 1=q^0< q< q^2<\dots<q^n = x
$

    und zeige

    $\displaystyle \int_1^x \xi^2 \,d\xi = \frac{1}{3}(x^3-1)$.$\displaystyle $

  3. Mit Hilfe der obigen Einteilung mit geometrischer Progression zeige man

    $\displaystyle \int_1^x \frac{1}{\xi^2}\,d\xi = 1-\frac{1}{x}$.$\displaystyle $

Beweis . 1. Wählt man die äquidistante Zerlegung des Intervalls $ [0,x] $ in $ n$ Teile, $ n\in \mathbb{N}$, und $ \xi_k = x_k $ so lauten die Riemann-Summen:

$\displaystyle \sum_{k=1}^n \Bigl(\frac{kx}{n}\Bigr)^2\,\frac{x}{n}
= \frac{x^3}{n^3}\sum_{k=1}^n k^2
= \frac{x^3}{n^3}\,\frac{n(n+1)(2n+1)}{6} \to \frac{x^3}{3}$    .$\displaystyle $

2. Wählt man eine Einteilung von $ [1,x] $ mit geometrischer Progression $ \ q :=x^\frac{1}{n}\ $ so erhält man die Teil- und Stützpunkte

$\displaystyle 1=q^0< q< q^2<\dots<q^n = x
$

und die Riemann-Summen

$\displaystyle \sum_{k=0}^{n-1} q^{2k}(q^{k+1}-q^k)$ $\displaystyle = (q-1)\sum_{k=0}^{n-1} q^{3k} = \frac{q^{3n}-1}{q^3-1} (q-1)$    
$\displaystyle = \frac{q-1}{q^3-1}\, (x^3-1)$ $\displaystyle = \frac{1}{1+q+q^2}\, (x^3-1) \to \frac{1}{3}(x^3-1)$   .    

3. Für die Teil- und Stützpunkte

$\displaystyle 1=q^0< q< q^2<\dots<q^n = x
$

erhält man die Riemann-Summen

$\displaystyle \sum_{k=0}^{n-1} \frac{1}{q^{2k}}(q^{k+1}-q^k)$ $\displaystyle = q \bigl( 1-\frac{1}{q} \bigr) \sum_{k=0}^{n-1} \frac{1}{q^{k}}$    
  $\displaystyle = q \bigl( 1-\frac{1}{q} \bigr) \frac{ 1-\frac{1}{q^{n}} }{ 1-\frac{1}{q} }$    
  $\displaystyle = x^{\frac{1}{n}} \bigl( 1-\frac{1}{x} \bigr) \to 1-\frac{1}{x}$    .    


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Analysis1-A.Lambert 2001-02-09