Integration stetiger Funktionen

Bemerkung. Wir bringen hier nur ganz wenige Beispiele von Integralen elementarer Funktionen. Leichter berechnet man diese Integrale später mit den folgenden Hilfmitteln:

• Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung.
• Partielle Integration
• Substitution
• Integration der Umkehrfunktion

Beispiele 3.1.21  

$$\int_0^x \xi\,d\xi = \frac{x^2}{2}$$   für $x \in \mathbb{R}$.$$$$

Bemerkung. Die zu berechnende Fläche ist ein gleichschenkliges, rechtwinkliges Dreieck mit Katheten der Länge $\vert x\vert$. Aus der Geometrie weiß man, daß die Dreiecksfläche $\frac{x^2}{2}$ ist.

Beweis . Wähle die äquidistante Zerlegung des Intervalls $[0,x]$ in $n$ Teile, $(n\in\mathbb{N})$:

$$Z = \{0=x_0<x_1= \frac{x}{n}<\dots x_k=\frac{kx}{n}<\dots<x_n=x\}$$

und approximiere die Funktion $f(\xi) = \xi$ durch die Treppenfunktion

$$t_n : \xi \mapsto \left\{\begin{array}{ll} \frac{kx}{n} &\text{f\... ...,\frac{kx}{n}] \),} \\ 0 &\text{f\uml ur \( \xi = 0 \).} \end{array}\right.$$

Die Folge $(t_n)_n$ konvergiert gleichmäßig gegen $f$ und somit gilt:

$$\int_0^x t_n(\xi)\,d\xi = \sum_{k=1}^n \frac{kx}{n}\,\frac{x}{n} = \frac{x^2}{n^2}\,\frac{n(n+1)}{2} \to \frac{x^2}{2} = \int_0^x f(\xi)\,d\xi$$   .$$$$

Bemerkung. Für eine stetige Funktion kann man leicht approximierende Treppenfunktionen angeben:

Bezeichnung 3.1.22  

Es sei $f: [a,b] \rightarrow \mathbb{R}$ stetig. Zu einer Zerlegung des Intervalls $[a,b]$

$$Z = \{ a=x_0<x_1<\dots<x_k=b \}$$

und einer Menge $\Xi$ von Stützstellen

$$\Xi = \{ \xi_1,\dots,\xi_k \}$$   mit$$\quad \xi_\varkappa\in[x_{\varkappa-1},x_\varkappa]$$    für $$\varkappa=1,\dots,k,$$

bildet man die Treppenfunktion

$$t_{(f,Z,\Xi)}: x \mapsto \left\{\begin{array}{ll} f(\xi_\varkappa... ...\uml ur \( x=x_\varkappa \), \( (\varkappa=0,\dots,k) \).} \end{array}\right.$$

Bezeichnung 3.1.23 (Feinheit einer Zerlegung)  

Wenn $Z = \{ a=x_0<\dots<x_k=b \}$ eine Zerlegung ist, so heißt heißt das Maximum der Längen der Teilintervalle $[x_{\varkappa-1},x_\varkappa]$ die Feinheit der Zerlegung. Die Feinheit wird mit

$$d(Z) := \max\limits_{\varkappa=1,\dots,k} (x_\varkappa-x_{\varkappa-1})$$

bezeichnet.

Bemerkung. Wenn $Z = \{ a=x_0<x_1<\dots<x_k=b \}$ eine Zerlegung ist, so nennen wir eine Menge von Stützstellen $\Xi = \{ \xi_1,\dots,\xi_k \}$ zulässig, wenn $\xi_\varkappa\in[x_{\varkappa-1},x_\varkappa]$ für $\varkappa=1,\dots,k$ ist.

Satz 3.1.24 (Approximierende Treppenunktion)  

Es sei $f: [a,b] \rightarrow \mathbb{R}$ stetig. Dann gibt es zu jedem $\varepsilon >0$ ein $\delta>0$, so daß für jede Zerlegung $Z$ von $[a,b]$ der Feinheit

$$d(Z)< \delta$$

und jede zulässige Wahl von Stützstellen $\Xi$ der Abstand von $f$ zu der Treppenfunktion $t_{(f,Z,\Xi)}$ kleiner als $\varepsilon$ist:

$$\Vert f-t_{(f,Z,\Xi)} \Vert < \varepsilon$$

Beweis . Nach Satz ist $f$ gleichmäßig stetig:

$$\forall \varepsilon >0 \,\exists\; \delta>0 \,\forall x,y\in [a,b]\ :\ \vert x-y\vert<\delta \Rightarrow \vert f(x)-f(y)\vert<\varepsilon$$   .$$$$

Für eine Zerlegung $Z$ mit $d(Z)<\delta$ und jede zulässige Menge von Stützpunkten gilt dann

$$\vert f(x)-t_{(f,Z,\Xi)}(x) \vert = \left\{\begin{array}{ll} \ver... ...\uml ur \( x=x_\varkappa \), \( (\varkappa=0,\dots,k) \).} \end{array}\right.$$

und somit

$$\Vert f-t_{(f,Z,\Xi)} \Vert < \varepsilon$$

Bezeichnung 3.1.25   Es sei $f: [a,b] \rightarrow \mathbb{R}$ eine Funktion. Zu einer Zerlegung des Intervalls $[a,b]$

$$Z = \{ a=x_0<x_1<\dots<x_k=b \}$$

und einer Menge $\Xi$ von zulässigen Stützstellen

$$\Xi = \{ \xi_1,\dots,\xi_k \}$$   mit$$\quad \xi_\varkappa\in[x_{\varkappa-1},x_\varkappa]$$    für $$\varkappa=1,\dots,k,$$

bildet man die Riemansche Summe:

$$S(f,Z,\Xi,) = S(Z,\Xi) := \sum_{\varkappa=1}^k f(\xi_\varkappa)\,(x_\varkappa -x_{\varkappa-1})$$

BERNHARDT RIEMANN, 1826-1866

Bemerkung. Eine Riemannsche Summe ist eine endliche Summe, zu deren Berechnung man nur endlich viele Funktionswerte des Integranden brauch.

Satz 3.1.26 (Konvergenz der Riemann-Summen)  

Es sei $f: [a,b] \rightarrow \mathbb{R}$ stetig.. Für jede Folge $(Z_n)_N$ von Zerlegungen des Intervalls $[a,b]$, deren Feinheit gegen Null strebt:

$$d(Z_n)\to 0$$,$$$$

und jede zulässige Wahl von Stützpunkten $\Xi_n$, $(n\in\mathbb{N})$, konvergieren die Riemanschen Summen: gegen das Integral von $f$:

$$\textstyle \lim\limits_{n\to\infty}S(f,Z_n,\Xi_n) = \int\limits_{[a,b]}f$$

Beispiele 3.1.27  

1. Man wähle die äquidistante Zerlegung des Intervalls $[0,x]$ in $n$ Teile:
   $$Z = \{0=x_0<x_1= \frac{x}{n}<\dots x_k=\frac{kx}{n}<\dots<x_n=x\}$$
   und zeige
   $$\int\limits_0^x \xi^2\,d\xi = \frac{x^3}{3}$$.

2. Man wähle die Einteilung von $[1,x]$ mit geometrischer Progression $q :=\sqrt[n]{\strut x}$:
   $$1=q^0< q< q^2<\dots<q^n = x$$
   und zeige
   $$\int_1^x \xi^2 \,d\xi = \frac{1}{3}(x^3-1)$$.$$$$

3. Mit Hilfe der obigen Einteilung mit geometrischer Progression zeige man
   $$\int_1^x \frac{1}{\xi^2}\,d\xi = 1-\frac{1}{x}$$.$$$$

Beweis . 1. Wählt man die äquidistante Zerlegung des Intervalls $[0,x]$ in $n$ Teile, $n\in \mathbb{N}$, und $\xi_k = x_k$ so lauten die Riemann-Summen:

$$\sum_{k=1}^n \Bigl(\frac{kx}{n}\Bigr)^2\,\frac{x}{n} = \frac{x^3}{n^3}\sum_{k=1}^n k^2 = \frac{x^3}{n^3}\,\frac{n(n+1)(2n+1)}{6} \to \frac{x^3}{3}$$    .$$$$

2. Wählt man eine Einteilung von $[1,x]$ mit geometrischer Progression $\ q :=x^\frac{1}{n}\$ so erhält man die Teil- und Stützpunkte

$$1=q^0< q< q^2<\dots<q^n = x$$

und die Riemann-Summen

$$\sum_{k=0}^{n-1} q^{2k}(q^{k+1}-q^k) = (q-1)\sum_{k=0}^{n-1} q^{3k} = \frac{q^{3n}-1}{q^3-1} (q-1)$$

$$= \frac{q-1}{q^3-1}\, (x^3-1) = \frac{1}{1+q+q^2}\, (x^3-1) \to \frac{1}{3}(x^3-1)$$

3. Für die Teil- und Stützpunkte

$$1=q^0< q< q^2<\dots<q^n = x$$

erhält man die Riemann-Summen

$$\sum_{k=0}^{n-1} \frac{1}{q^{2k}}(q^{k+1}-q^k) = q \bigl( 1-\frac{1}{q} \bigr) \sum_{k=0}^{n-1} \frac{1}{q^{k}}$$

$$= q \bigl( 1-\frac{1}{q} \bigr) \frac{ 1-\frac{1}{q^{n}} }{ 1-\frac{1}{q} }$$

$$= x^{\frac{1}{n}} \bigl( 1-\frac{1}{x} \bigr) \to 1-\frac{1}{x}$$