Transformation des Integranden

Bemerkung. Wir wollen die Transformationsformel für affine, monoton wachsende Transformationen verallgemeinern.

Eine affine Funktion $G$ ist die Stammfunktion einer konstanten Funktion $g= c = \mathit{const}$:

$$G: x\mapsto \int_a^x c \,d\xi + d = cx+d$$   .$$$$

Die Transformationsformel für affine, monoton wachsende Transformationen

$$\int_{G(a)}^{G(b)} f(y)\,dy = \int_a^b f(G(x))\,g(x)\,dx$$   .$$$$

überträgt sich, auf Grund der Intervall-Additivität des Integrals, auf stetige, stückweise affine, monoton wachsende Transformationen und dann auf deren Grenzwerte.

Feststellung 3.1.46  

Gegeben sei eine Funktionenfolge $(h_n)_n$ in $\mathcal{R}([a,b])$, die gleichmäßig auf $[a,b]$ gegen eine Grenzfunktion $h\in\mathcal{R}([a,b])$ konvergiert.

Für jede stetige Funktion $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ gilt dann:

1. $f\circ h_n \in \mathcal{R}([a,b])$.
2. Die Funktionenflge $(f\circ h_n)_n$ konvergiert gleichmäßig auf $[a,b]$ gegen $f\circ h$.

Die folgende Transformationsformel gilt auch ohne die Voraussetzung $g\geqslant0$. Wir werden dies im nächsten Kapitel als Folgerung der Kettenregel zeigen.

Satz 3.1.47 (Transformation des Integrals)  

Es sei $g\in\mathcal{R}([a,b])$, $g\geqslant0$, und $G$ ein unbestimmtes Integral von $g$. Also ist $G$ eine stetige, monoton wachsende Abbildung von $[a,b]$ auf $[G(a),G(b)]$.

Für jede stetige Funktion $f:[G(a),G(b)]\rightarrow \mathbb{R}$ gilt die Transformationsformel

$$\int\limits_{[G(a),G(b)]} \!\!\!\!\! f = \int\limits_{[a,b]} (f\circ G) \cdot g$$   .$$$$

In Differentialschreibweise:

$$\int_{G(a)}^{G(b)} f(y)\,dy = \int_a^b f(G(x))\cdot g(x)\,dx$$   .$$$$

Bemerkung zum Beweis:

1. Im Fall $G(a)=G(b)$ sind die Integrale in gleich 0.
2. Fall $G(a) < G(b)$: Man Wähle eine Folge von Treppenfunktionen $(t_n)_n$ in $\mathcal{R}([a,b])$, die gleichmäßig gegen $g$ konvergiert und für die $t_n\geqslant 0$ ist (vgl. Korollar ).

   Dann konvergieren die Stammfunktionen $T_n: x \to G(a) + \int_a^{x} t_n(\xi)\,d\xi$ gleichmäßig gegen $G$:

   $$T_n(x)-T_n(a) = \int_a^x t_n \to \int_a^x g = G(x)-G(a)$$   .$$$$
   Man kann ohne Einschränkung die $t_n$ so wählen, daß
   $$T_n(b)-T_n(a) > 0$$   und$$\quad T_n(b) = G(b)$$
   ist. Anderenfalls betrachte man die Folge ab einem $n_0$ und setze
   $$\tilde{t}_n :=\frac{G(b)-G(a)}{T_n(b)-T_n(a)}\,t_n$$   .$$$$

Beweis . Man wähle also eine Folge von Treppenfunktionen $(t_n)_n$ mit Stammfunktionen $(T_n)_n$, so daß $t_n\geqslant 0 \,$ und

$$\Vert t_n-g\Vert\to 0 \qquad \Vert T_n-G\Vert\to 0$$

$$T_n(a) = G(a,) \qquad T_n(b)=G(b)$$

Zu $t_n$ gibt es eine Zerlegung

$$Z_n =\{a=x_0<x_1<\dots<x_{k_n}=b\}$$

auf deren offenenen Teilintervallen $t_n\vert(x_\varkappa,x_{\varkappa-1})= c_\varkappa$ konstant ist. Man setze $y_\varkappa :=T_n(x_\varkappa)$. Dann gilt nach

$$\int\limits_a^b f(\eta)\,d\eta = \sum_{\varkappa=1}^{k_n}\, \int\limits_{y_{\varkappa-1}}^{y_\varkappa}f(\eta)\,d\eta$$

$$=\sum_{\varkappa=1}^{k_n}\, \int\limits_{x_{\varkappa-1}}^{x_\varkappa} f(T_n(\xi))t_n(\xi)\,d\xi = \int\limits_a^b f (T_n(\xi))\, t_n(\xi)\,d\xi$$

Beispiele 3.1.48   Aus dem Transformationssatz folgt die Gleichung:

$$\int\limits_1^b \log(\sqrt{y}-1)\,dy = \int\limits_0^{\sqrt{b}-1}\! \log x \cdot 2(x+1)\,dx$$   für $b\geqslant 1$.$$$$

Dabei wurde die folgende Substitution angewandt:

$$G(x) = (x+1)^2, \quad g(x) = 2(x+1)$$

Mit partieller Integration folgt:

$$\int_1^b \log(\sqrt{y}-1)\,dx = \Bigl[ \log(x)\cdot(x+1)^2 \Bigr\vert _0^{\sqrt{b}-1} -\int\limits_0^{\sqrt{b}-1}\frac{1}{x}(x+1)^2\,dx$$

$$= \biggl[ \log(x)\cdot(x+1)^2 -\frac{x^2}{2}-2x -\log x \biggr\vert _0^{\sqrt{b}-1}$$

Beispiele 3.1.49   Die Zahlenfolge $(r_n)_n$ konvergiere gegen $a \in \mathbb{R}$. Dann konvergiert die Funktionenfolge $(f_n)_n$:

$$f_n:x\mapsto x^{r_n}$$   für $x\in (0,\infty)$$$$$

auf jedem kompakten Teilintervall $[a,b]\subset(0,\infty)$ gleichmäßig gegen $f:x\mapsto x^a$.

Beweis . Dies folgt aus der Abschätzung:

$$\vert x^a-x^r\vert = \bigl\vert e^{a\log x}-e^{r\log x} \bigr\vert = \biggl\vert \int\limits_{r\log x}^{a\log x} e^t\,dt \biggr\vert$$

$$\leqslant \vert a-r\vert\vert\log x\vert \max\{x^a,x^r\}$$

Beispiele 3.1.50 (Integral der Potenzfunktion)  

Man zeige mit Hilfe der Substitution $\xi = G(\eta)=\eta^n$ und $g(\eta) = (n-1)\eta^{n-1}$ $(n\in\mathbb{N})$:

1. Für $n\in \mathbb{N}$ und $m\in\mathbb{Z}$ mit $\frac{m}{n}\not=-1$ gilt
   $$\displaystyle \int_1^x \xi^\frac{m}{n} = \frac{1}{1+\frac{m}{n}}\left( x^{1+\frac{m}{n}} -1\right)$$   für $x\in (0,\infty)$.$$$$

2. Für $a \in \mathbb{R}$, $a\not=-1$ gilt:
   $$\int x^a \,dx = \frac{1}{a+1} x^{a+1} + C$$   für $x\in (0,\infty)$.$$$$

Bemerkung. Wenn der Exponent $a\geqslant0$ ist, so gilt (2.) für $x \in \mathbb{R}$.