Nächste Seite: Differentialrechnung (Entwurf vom 9.
Aufwärts: Integral von Regelfunktionen (Entwurf
Vorherige Seite: Mittewertsatz der Integralrechnung
  Inhalt
Bemerkung.
Wir wollen die Transformationsformel
für affine, monoton wachsende Transformationen
verallgemeinern.
Eine affine Funktion ist die Stammfunktion einer
konstanten Funktion
:
.
Die Transformationsformel
für affine, monoton wachsende Transformationen
.
überträgt sich, auf Grund der Intervall-Additivität
des Integrals, auf stetige,
stückweise affine, monoton wachsende Transformationen
und dann auf deren Grenzwerte.
Die folgende Transformationsformel gilt
auch ohne die Voraussetzung
.
Wir werden dies im nächsten Kapitel als Folgerung der
Kettenregel zeigen.
Bemerkung zum Beweis:
- Im Fall sind die Integrale
in gleich 0.
- Fall
:
Man Wähle eine Folge von Treppenfunktionen
in
, die gleichmäßig gegen
konvergiert und für die
ist
(vgl. Korollar ).
Dann konvergieren die Stammfunktionen
gleichmäßig gegen :
.
Man kann ohne Einschränkung die
so wählen, daß
und
ist.
Anderenfalls betrachte man die Folge ab einem und
setze
.
Beweis . Man wähle also eine Folge von
Treppenfunktionen mit Stammfunktionen ,
so daß
und
Zu gibt es eine Zerlegung
auf deren offenenen Teilintervallen
konstant ist. Man setze
.
Dann gilt nach
Beispiele 3.1.48
Aus dem Transformationssatz
folgt
die Gleichung:
Dabei wurde die folgende
Substitution angewandt:
Mit partieller Integration folgt:
Beispiele 3.1.49
Die Zahlenfolge
konvergiere gegen
.
Dann konvergiert die Funktionenfolge
:
auf jedem kompakten Teilintervall
gleichmäßig
gegen
.
Beweis . Dies folgt aus der Abschätzung:
Beispiele 3.1.50 (Integral der Potenzfunktion)
Man zeige mit Hilfe
der Substitution
und
:
- Für
und
mit
gilt
- Für
, gilt:
Bemerkung. Wenn der Exponent
ist, so gilt
(2.) für
.
Nächste Seite: Differentialrechnung (Entwurf vom 9.
Aufwärts: Integral von Regelfunktionen (Entwurf
Vorherige Seite: Mittewertsatz der Integralrechnung
  Inhalt
Analysis1-A.Lambert
2001-02-09