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Transformation des Integranden

Bemerkung. Wir wollen die Transformationsformel [*] für affine, monoton wachsende Transformationen verallgemeinern.

Eine affine Funktion $ G $ ist die Stammfunktion einer konstanten Funktion $ g= c = \mathit{const} $:

$\displaystyle G: x\mapsto \int_a^x c \,d\xi + d = cx+d$   .$\displaystyle $

Die Transformationsformel [*] für affine, monoton wachsende Transformationen

$\displaystyle \int_{G(a)}^{G(b)} f(y)\,dy
= \int_a^b f(G(x))\,g(x)\,dx$   .$\displaystyle $

überträgt sich, auf Grund der Intervall-Additivität des Integrals, auf stetige, stückweise affine, monoton wachsende Transformationen und dann auf deren Grenzwerte.

Feststellung 3.1.46  

Gegeben sei eine Funktionenfolge $ (h_n)_n $ in $ \mathcal{R}([a,b]) $, die gleichmäßig auf $ [a,b] $ gegen eine Grenzfunktion $ h\in\mathcal{R}([a,b]) $ konvergiert.

Für jede stetige Funktion $ f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ gilt dann:

  1. $ f\circ h_n \in \mathcal{R}([a,b]) $.
  2. Die Funktionenflge $ (f\circ h_n)_n $ konvergiert gleichmäßig auf $ [a,b] $ gegen $ f\circ h $.

Die folgende Transformationsformel gilt auch ohne die Voraussetzung $ g\geqslant0 $. Wir werden dies im nächsten Kapitel als Folgerung der Kettenregel zeigen.

Satz 3.1.47 (Transformation des Integrals)  

Es sei $ g\in\mathcal{R}([a,b]) $, $ g\geqslant0 $, und $ G $ ein unbestimmtes Integral von $ g $. Also ist $ G $ eine stetige, monoton wachsende Abbildung von $ [a,b] $ auf $ [G(a),G(b)] $.

Für jede stetige Funktion $ f:[G(a),G(b)]\rightarrow \mathbb{R}$ gilt die Transformationsformel

$\displaystyle \int\limits_{[G(a),G(b)]} \!\!\!\!\! f =
\int\limits_{[a,b]} (f\circ G) \cdot g$   .$\displaystyle $

In Differentialschreibweise:

$\displaystyle \int_{G(a)}^{G(b)} f(y)\,dy = \int_a^b f(G(x))\cdot g(x)\,dx$   .$\displaystyle $

Bemerkung zum Beweis:

  1. Im Fall $ G(a)=G(b) $ sind die Integrale in [*] gleich 0.
  2. Fall $ G(a) < G(b) $: Man Wähle eine Folge von Treppenfunktionen $ (t_n)_n $ in $ \mathcal{R}([a,b]) $, die gleichmäßig gegen $ g $ konvergiert und für die $ t_n\geqslant 0 $ ist (vgl. Korollar [*]).

    Dann konvergieren die Stammfunktionen $ T_n: x \to G(a) + \int_a^{x} t_n(\xi)\,d\xi $ gleichmäßig gegen $ G $:

    $\displaystyle T_n(x)-T_n(a) = \int_a^x t_n \to \int_a^x g = G(x)-G(a)$   .$\displaystyle $

    Man kann ohne Einschränkung die $ t_n $ so wählen, daß

    $\displaystyle T_n(b)-T_n(a) > 0$   und$\displaystyle \quad T_n(b) = G(b)
$

    ist. Anderenfalls betrachte man die Folge ab einem $ n_0$ und setze

    $\displaystyle \tilde{t}_n :=\frac{G(b)-G(a)}{T_n(b)-T_n(a)}\,t_n$   .$\displaystyle $

Beweis . Man wähle also eine Folge von Treppenfunktionen $ (t_n)_n $ mit Stammfunktionen $ (T_n)_n $, so daß $ t_n\geqslant 0 \, $ und

  $\displaystyle \Vert t_n-g\Vert\to 0$, $\displaystyle \qquad$ $\displaystyle \Vert T_n-G\Vert\to 0$   ,    
  $\displaystyle T_n(a) = G(a,)$ $\displaystyle \qquad$ $\displaystyle T_n(b)=G(b)$   .    

Zu $ t_n $ gibt es eine Zerlegung

$\displaystyle Z_n =\{a=x_0<x_1<\dots<x_{k_n}=b\} $

auf deren offenenen Teilintervallen $ t_n\vert(x_\varkappa,x_{\varkappa-1})= c_\varkappa $ konstant ist. Man setze $ y_\varkappa :=T_n(x_\varkappa) $. Dann gilt nach [*]

$\displaystyle \int\limits_a^b f(\eta)\,d\eta$ $\displaystyle = \sum_{\varkappa=1}^{k_n}\, \int\limits_{y_{\varkappa-1}}^{y_\varkappa}f(\eta)\,d\eta$    
  $\displaystyle =\sum_{\varkappa=1}^{k_n}\, \int\limits_{x_{\varkappa-1}}^{x_\varkappa} f(T_n(\xi))t_n(\xi)\,d\xi = \int\limits_a^b f (T_n(\xi))\, t_n(\xi)\,d\xi$    

Beispiele 3.1.48   Aus dem Transformationssatz [*] folgt die Gleichung:

$\displaystyle \int\limits_1^b \log(\sqrt{y}-1)\,dy =
\int\limits_0^{\sqrt{b}-1}\! \log x \cdot 2(x+1)\,dx$   für $ b\geqslant 1 $.$\displaystyle $

Dabei wurde die folgende Substitution angewandt:

$\displaystyle G(x) = (x+1)^2, \quad g(x) = 2(x+1)
$

Mit partieller Integration folgt:

$\displaystyle \int_1^b \log(\sqrt{y}-1)\,dx$ $\displaystyle = \Bigl[ \log(x)\cdot(x+1)^2 \Bigr\vert _0^{\sqrt{b}-1} -\int\limits_0^{\sqrt{b}-1}\frac{1}{x}(x+1)^2\,dx$    
  $\displaystyle = \biggl[ \log(x)\cdot(x+1)^2 -\frac{x^2}{2}-2x -\log x \biggr\vert _0^{\sqrt{b}-1}$.    

Beispiele 3.1.49   Die Zahlenfolge $ (r_n)_n $ konvergiere gegen $ a \in \mathbb{R}$. Dann konvergiert die Funktionenfolge $ (f_n)_n $:

$\displaystyle f_n:x\mapsto x^{r_n}$   für $ x\in (0,\infty) $$\displaystyle $

auf jedem kompakten Teilintervall $ [a,b]\subset(0,\infty) $ gleichmäßig gegen $ f:x\mapsto x^a $.

Beweis . Dies folgt aus der Abschätzung:

$\displaystyle \vert x^a-x^r\vert$ $\displaystyle = \bigl\vert e^{a\log x}-e^{r\log x} \bigr\vert = \biggl\vert \int\limits_{r\log x}^{a\log x} e^t\,dt \biggr\vert$    
  $\displaystyle \leqslant \vert a-r\vert\vert\log x\vert \max\{x^a,x^r\}$    

Beispiele 3.1.50 (Integral der Potenzfunktion)  

Man zeige mit Hilfe der Substitution $ \xi = G(\eta)=\eta^n $ und $ g(\eta) = (n-1)\eta^{n-1} $ $ (n\in\mathbb{N}) $:

  1. Für $ n\in \mathbb{N}$ und $ m\in\mathbb{Z}$ mit $ \frac{m}{n}\not=-1 $ gilt

    $\displaystyle \displaystyle \int_1^x \xi^\frac{m}{n}
= \frac{1}{1+\frac{m}{n}}\left( x^{1+\frac{m}{n}} -1\right)$   für $ x\in (0,\infty) $.$\displaystyle $

  2. Für $ a \in \mathbb{R}$, $ a\not=-1 $ gilt:

    $\displaystyle \int x^a \,dx = \frac{1}{a+1} x^{a+1} + C$   für $ x\in (0,\infty) $.$\displaystyle $

Bemerkung. Wenn der Exponent $ a\geqslant0 $ ist, so gilt (2.) für $ x \in \mathbb{R}$.


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Analysis1-A.Lambert 2001-02-09