Beispiele für Operatormoduln

1.

Seien A eine unitale C^*-Algebra, E ein normierter Raum und X ein Operatorraum. Dann sind B(E, A) resp. $\mathit{CB}(X, A)$ Operatorräume vermöge der Identifizierungen M_n(B(E, A))=B(E, M_n(A)) resp. $M_n(\mathit{CB}(X, A))=\mathit{CB}(X, M_n(A))$. Diese werden zu A-Operatorbimoduln, stattet man sie mit den natürlichen Moduloperationen aus:

$$\begin{eqnarray*}(a \cdot \varphi \cdot b)(x) = a \varphi(x) b \end{eqnarray*}$$

für alle $a, b \in A$, $\varphi \in B(X, A)$ resp. $\mathit{CB}(Y, A)$, $x \in X$ resp. $x \in Y$ [ER88, p. 140].

2.

Sei $\otimes_{\alpha}$ ein Operatorraum-Tensorprodukt . Seien A eine unitale C^*-Algebra, X ein Operatorraum. Der Operatorraum $X \otimes_{\alpha} A$ wird zu einem A-Operatorbimodul vermöge der Moduloperationen:

$$b\cdot (x\otimes a)\cdot c = x \otimes (bac)\mbox{,}$$

wobei $x \in X$, a, b, $c\in A$. Speziell erhellt dies für das injektive Operatorraum-Tensorprodukt:

$$X^* \stackrel{\scriptscriptstyle\vee}{\otimes} A \subset\mathit{CB}(X, A)$$

ist ein A-Operatorbimodul (vgl. Beispiel 1.).