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Operatormoduln über C*-Algebren

Seien A1, $A_2 \subset B(\mathcal{H})$ C*-Algebren mit ${{\mathbb{1} }_{B(\mathcal{H})}} \in A_1, A_2$. Ein abgeschlossener Unterraum X in ${B(\mathcal{H})}$ heißt     konkreter (A1,A2)-Operatormodul  , falls $A_1X \subset X$ und $XA_2 \subset X$. Im Falle A1=A2=A nennen wir X einen   konkreten A-Operatorbimodul (vgl. [ER88, p. 137]).

Analog zu den Operatorräumen und den Operatoralgebren lassen sich auch Operatormoduln über C*-Algebren abstrakt charakterisieren (vgl. [Pop98, Déf. 4.1]):
Seien wie oben A1, $A_2 \subset B(\mathcal{H})$ unitale C*-Algebren mit ${{\mathbb{1} }_{B(\mathcal{H})}} \in A_1$, A2, ferner X (algebraisch) ein (A1,A2)-Modul. Dann nennen wir X einen   abstrakten (A1,A2)-Operatormodul, falls er eine Operatorraum-Struktur trägt, die den folgenden     (Ruanschen) Axiomen genügt:

(R1) $\Vert axb\Vert _m$ $\leq$ $\Vert a\Vert \Vert x\Vert _m \Vert b\Vert$
       
(R2) $\left\Vert
\left( \begin{array}{cc}
x & 0 \\
0 & y \end{array} \right)
\right\Vert _{m+n}$ = ${\rm {max}} \{ \Vert x\Vert _m, \Vert y\Vert _n \},$
wobei $m, n \in {\mathbb{N} }$, $a \in M_m(A_1)$, $x \in M_m(X)$, $y\in M_n(Y)$, $b \in M_m(A_2)$.

Für abstrakte Operatormoduln gilt ein     Darstellungssatz vom Ruan-Typ (vgl. [Pop98, Thm. 4.7]):

Seien $A_1, A_2 \subset B(\mathcal{H})$ unitale C*-Algebren mit ${{\mathbb{1} }_{B(\mathcal{H})}} \in A_1, A_2$, ferner V ein abstrakter (A1,A2)-Operatormodul. Dann existieren ein Hilbertraum $\mathcal{K}$, eine vollständige Isometrie $\Theta: X \hookrightarrow B(\mathcal{K})$ und *-Darstellungen $\pi_1$, $\pi_2$ von A1 bzw. A2 auf K, so daß gilt:

\begin{displaymath}\Theta(axb) = \pi_1(a) \Theta(x) \pi_2(b),
\end{displaymath}

wobei $x \in X$, $a \in A_1$, $b \in A_2$. Im Falle A1=A2 kann man sogar $\pi_1=\pi_2$ wählen.



 
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Lehrstuhl Prof. Dr. Gerd Wittstock
1999-09-04