Vollständig beschränkte Modulhomomorphismen

Die zu den Operatormoduln gehörigen strukturerhaltenden Abbildungen sind die vollständig beschränkten Modulhomomorphismen .

 Seien $A_1, A_2 \subset B(\mathcal{H})$ unitale C^*-Algebren mit ${{\mathbb{1} }}_{\mathcal{H}} \in A_1, A_2$, und seien X, Y zwei (A₁,A₂)- Operatormoduln , d.h. (algebraisch) A₁-Links-A₂-Rechts-Moduln. Eine Abbildung $\Phi \in L(M_1(X),M_1(Y))$ heißt   (A₁,A₂)-Modulhomomorphismus (für A₁=A₂     A-Bimodulhomomorphismus), falls gilt $\Phi(axb)=a \Phi(x) b$ für alle $a \in A_1$, $b \in A_2$, $x \in X$. Ferner schreibt man   $\mathit{CB}_{(A_1,A_2)}(X,Y)$ für die Menge der     vollständig beschränkten (A₁,A₂)-Modulhomomorphismen zwischen X und Y. Der Raum $\mathit{CB}_{(A_1,A_2)}(X)$ mit der Komposition als Multiplikation ist eine Banachalgebra.

Für vollständig beschränkte Modulhomomorphismen gelten ein Fortsetzungssatz und ein Darstellungssatz .

     Fortsetzungssatz ([Wit84a, Thm. 3.1], vgl. auch [MN94, Thm. 3.4] und [Pau86, Thm. 7.2]): Seien A eine injektive C^*-Algebra und $A_1,A_2 \subset A$ zwei unitale C^*-Unteralgebren. Weiterhin seien X₀ und X zwei (A₁,A₂)-Operatormoduln mit $X_0\subset X$. Dann existiert zu jedem $\Phi_0 \in \mathit{CB}_{(A_1,A_2)} (X_0,A)$ eine Fortsetzung $\Phi \in \mathit{CB}_{(A_1,A_2)} (X,A)$ mit $\Phi\vert _{X_0} = \Phi_0$ und $\Vert\Phi\Vert _{\mathrm{cb}} = \Vert \Phi_0 \Vert _{\mathrm{cb}}$.

     Darstellungssatz: Es seien $\mathcal{H}$ ein Hilbertraum, M eine C^*-Algebra in ${B(\mathcal{H})}$, und A₁, A₂ seien C^*-Unteralgebren von M. Dann gilt:

(a)

(vgl. [Pau86, Thm. 7.4]) Für jeden vollständig beschränkten (A₁,A₂)-Modulhomomorphismus $\Phi: M \rightarrow B(\mathcal{H})$ existieren ein Hilbertraum $\mathcal{K}$, eine   ^*-Darstellung $\pi: M \rightarrow B(\mathcal{K})$ und lineare Operatoren $v,w \in B(\mathcal{H},\mathcal{K})$ mit den nachstehenden Eigenschaften:

(a1)

$\Phi(x)=v^*\pi(x)w$ für alle $x \in M$, d.h.   $(\mathcal{K};\pi;v^*;w)$ ist eine Darstellung von $\Phi$

(a2)

$\Vert \Phi \Vert _{\mathrm{cb}} = \Vert v\Vert\Vert w\Vert$

(a3)

$\overline{\mathrm{lin}}(\pi(M)v\mathcal{H}) = \overline{\mathrm{lin}}(\pi(M)w\mathcal{H}) = \mathcal{K}$

(a4)

$v^*\pi(a) = av^*$ für alle $a \in A_1$ und $\pi(b)w = wb$ für alle $b \in A_2$.

(b)

(vgl. [Smi91, Thm. 3.1]) Ist $M \subset B(\mathcal{H})$ zusätzlich eine von Neumann-Algebra und $\Phi: M \rightarrow B(\mathcal{H})$ ein normaler vollständig beschränkter (A₁,A₂)-Modulhomomorphismus, so kann man in a) die ^*-Darstellung $\pi$ normal wählen. Es existieren Familien $(a_i)_{i \in I}$ und $(b_i)_{i \in I}$ im   Kommutanten von A₁ bzw. A₂ mit den folgenden Eigenschaften (die folgenden Summen sind sämtlich im WOT-Sinne zu verstehen):

(b1)

$\Phi(x) = \sum_{i \in I} a_ixb_i$ für alle $x \in M$

(b2)

$\sum_{i \in I} a_ia^*_i \in B(\mathcal{H})$, $\sum_{i \in I} b^*_ib_i \in B(\mathcal{H})$ und $\Vert\Phi\Vert _{\mathrm{cb}} = \Vert\sum_{i \in I} a_ia^*_i\Vert^{\frac{1}{2}} \Vert \sum_{i \in I} b^*_ib_i \Vert^{\frac{1}{2}}$.

Seien $A_1, A_2 \subset B(\mathcal{H})$ unitale C^*-Algebren mit ${{\mathbb{1} }}_{\mathcal{H}} \in A_1, A_2$, ferner $A \subset A_1 \cap A_2$ mit ${{\mathbb{1} }}_{\mathcal{H}} \in A$ eine unitale ^*-Unteralgebra von A₁ und A₂. Ein A-Bimodulhomomorphismus

$$\Phi: A_1 \rightarrow A_2$$

heißt   selbstadjungiert, falls

$$\Phi(x)^* = \Phi(x^*)$$

für alle $x \in A_1$ gilt.

Für selbstadjungierte vollständig beschränkte Bimodulhomomorphismen besteht der folgende      Zerlegungssatz ([Wit81, Satz 4.5] und vgl. [Pau86, Thm. 7.5]):

Seien A, A₁ und A₂ unitale C^*-Algebren. Ferner sei A₂   injektiv, und A sei Unteralgebra von A₁ und A₂ mit ${{\mathbb{1} }}_{A_1}={{\mathbb{1} }}_{A_2}={{\mathbb{1} }}_A$. Dann existieren zu jedem selbstadjungierten, vollständig beschränkten A-Bimodulhomomorphismus $\Phi: A_1 \rightarrow A_2$ zwei vollständig positive A-Bimodulhomomorphismen $\Phi_1: A_1 \rightarrow A_2$ und $\Phi_2: A_1 \rightarrow A_2$ mit den Eigenschaften $\Phi=\Phi_1 - \Phi_2$  und  $\Vert\Phi\Vert _{\mathrm{cb}}=\Vert\Phi_1+\Phi_2\Vert _{\mathrm{cb}}$ .

Seien M, N von Neumann-Algebren, ferner $A_1, A_2 \subset B(\mathcal{H})$ zwei C^*-Algebren, wobei ${{\mathbb{1} }}_{\mathcal{H}} \in A_1$, A₂ und $A_1 \cup A_2 \subset M \cap N$. Es gilt der             Zerlegungssatz von Tomiyama-Takesaki (vgl. [Tak79, Def. 2.15]): Jede Abbildung

$$\Phi \in \mathit{CB}_{(A_1,A_2)}(M,N)$$

schreibt sich eindeutig als  

$$\Phi=\Phi^{\sigma}+\Phi^s\mbox{,}$$

$\Phi^{\sigma},~\Phi^s \in \mathit{CB}_{(A_1,A_2)}(M,N)$ normal bzw. singulär, mit $\Vert\Phi^{\sigma}\Vert _{\mathrm{cb}},~ \Vert\Phi^s\Vert _{\mathrm{cb}} \le \Vert\Phi\Vert _{\mathrm{cb}}$ . Man erhält also die algebraisch direkte Summen-Zerlegung: 

 

$${\mathit{CB}_{(A_1,A_2)}(M,N)} \mathit{CB}^{\sigma}_{(A_1,A_2)}(M,N) \oplus \mathit{CB}^s_{(A_1,A_2)}(M,N)\mbox{.}$$ = (1)

Dabei sind die Begriffe ,,normal``  bzw. ,,singulär``  analog zu denen bei Funktionalen auf einer von Neumann-Algebra M gebildet.¹⁶

Grundlegende ,,Eigenschaften`` der in (1) auftretenden Räume bzw. Abbildungen:

(a)

Im Falle M=N sind alle Räume in (1) Banachalgebren.

(b)

Die folgenden Eigenschaften vererben sich von $\Phi$ auf $\Phi^{\sigma}$ und $\Phi^s$ :   vollständig positiv, Homomorphismus , ^*-Homomorphismus .

(c)

Sind $\alpha \in {\mathrm{Aut}}(M)$ und $\beta \in {\rm {Aut}}(N)$ ^*-Automorphismen, so gilt $(\beta \Phi \alpha)^{\sigma}= \beta \Phi^{\sigma} \alpha$ und $(\beta \Phi \alpha)^s=\beta \Phi^s \alpha$ .

(d)

Für $\Phi \in \mathit{CB}(B(\mathcal{H}))$, $\mathcal{H}$ Hilbertraum, gilt: $\Phi \in \mathit{CB}^s(B(\mathcal{H})) \Leftrightarrow \Phi\vert _{K(\mathcal{H})} \equiv 0$ .

Seien $\mathcal{H}$ ein Hilbertraum, $A_1, A_2 \subset B(\mathcal{H})$ C^*-Algebren mit ${{\mathbb{1} }}_{\mathcal{H}} \in A_1, A_2$. Dann erhält man [Pet97, Prop. 4.2.5]:

  

$$\mathit{CB}^{\sigma}_{(A_1,A_2)}(B(\mathcal{H})) \stackrel{{\rm {cb}}}{=} \mathit{CB}_{(A_1,A_2)}(K(\mathcal{H}),B(\mathcal{H}))$$ (2)

$$\mathit{CB}^s_{(A_1,A_2)}(B(\mathcal{H})) \stackrel{{\rm {cb}}}{=} \mathit{CB}_{(A_1,A_2)}(Q(\mathcal{H}),B(\mathcal{H}))$$ (3)

vollständig isometrisch, wobei $Q(\mathcal{H}) = B(\mathcal{H}) / K(\mathcal{H})$ die   Calkin-Algebra bezeichnet.

Sei X ein beliebiger Operatorraum. Dann läßt sich der Raum der vollständig beschränkten (A₁, A₂)-Modulhomomorphismen von X in ${B(\mathcal{H})}$ wie folgt mit dem Dual eines   Modul-Haagerup-Tensorproduktes identifizieren ([Pet97, p. 67], vgl. auch [ER91, Cor. 4.6], [Ble92b, Prop. 2.3]):

$$\mathit{CB}_{(A_1, A_2)}(X, B(\mathcal{H})) \stackrel{\mathrm... ...athcal{H}}} \otimes_{hA_1} X \otimes_{hA_2} C_{\mathcal{H}})^*$$

vollständig isometrisch. Damit erkennt man $\mathit{CB}(B(\mathcal{H}))$ selbst und, mit Blick auf (2), (3), ebenso $\mathit{CB}^\sigma_{(A_1,A_2)}(B(\mathcal{H}))$ und $\mathit{CB}^s_{(A_1,A_2)}(B(\mathcal{H}))$ als duale Operatorräume [Pet97, p. 70].