Injektives Operatorraum-Tensorprodukt

 

Durch Darstellungen der Operatorräume X in ${B(\mathcal{H})}$ und Y in $B(\mathcal{K})$ erhält man eine Darstellung des algebraischen Tensorprodukts von X und Y in $B(\mathcal{H}\otimes_2 \mathcal{K})$. Die so definierte Operatorraumstruktur ist unabhängig von der Darstellung und heißt  injektives ²⁵ Operatorraum-Tensorprodukt $X\stackrel{\scriptscriptstyle\vee}{\otimes}Y$ [BP91, p. 285]. Im Falle von C^*-Algebren stimmt also das injektive Operatorraumtensorprodukt mit dem minimalen C^*-Tensorprodukt überein.

  Eine darstellungsunabhängige Formel [BP91, Thm. 5.1] für die injektive Operatorraum-Tensornorm von $u \in M_n(X\otimes Y)$ erhält man mit Hilfe der Dualität von Tensorprodukten

$$\Vert u\Vert _\vee = \sup \Vert\langle u, \varphi \otimes \psi \rangle\Vert _{M_{nkl}},$$

wobei $k,l \in {\mathbb{N} }$, $\varphi \in \mathrm{Ball}(M_k(X^*))$, $\psi \in \mathrm{Ball}(M_l(Y^*))$ sind.

Faßt man wie üblich die Elemente des algebraischen Tensorprodukts als endlichrangige Operatoren auf, so erhält man die vollständig isometrischen Einbettungen   [BP91, Cor. 5.2]

$$X\stackrel{\scriptscriptstyle\vee}{\otimes}Y \hookrightarrow ... ...tyle\vee}{\otimes}Y \hookrightarrow \mathit{CB}(Y^*,X)\mbox{.}$$

Die injektive Operatorraum-Tensornorm ist die die kleinste Kreuznorm , deren duale Norm ebenfalls eine Kreuznorm ist.

Das injektive Operatorraumtensorprodukt ist symmetrisch , assoziativ , injektiv , aber nicht projektiv [BP91, Cor. 5.2].

Die injektive Norm ist die duale Norm der projektiven Operatorraum-Tensornorm [BP91, Thm. 5.6]; i.a. ist aber die projektive Operatorraum-Tensornorm nicht dual zur injektiven Operatorraum-Tensornorm, selbst wenn einer der Räume endlichdimensional ist [ER90a, p. 168], [ER91, p. 264].