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Kreuznormen

Eine Operatorraum-Norm $\Vert\cdot\Vert _\alpha$ auf $X \otimes Y$ heißt  Kreuznorm, wenn $\Vert x \otimes y\Vert _{\alpha,pq}=\Vert x\Vert _p\, \Vert y\Vert _q$ für alle $p,q \in {\mathbb{N} }$, $x \in M_p(X)$, $y\in M_q(Y)$ gilt.

Für Kreuznormen ist ${\mathbb{C} }\otimes_\alpha X \stackrel{\mathrm{cb}}{=}X$ vollständig isometrisch.

Zuweilen betrachtet man nur ein Operatorraum-Norm $\Vert\cdot\Vert _\alpha$auf dem algebraischen Tensorprodukt zweier Operatorräume X und Y. Dann verlangt man zumindest die folgenden Eigenschaften (i)-(iii).24 Operatorraum-Tensornormen haben immer diese Eigenschaften.

(i)
$\Vert\cdot\Vert _\alpha$ ist eine Kreuznorm.
(ii)
Für Linearformen $\varphi \in X^*$, $\psi \in Y^*$hat die Linearform

\begin{eqnarray*}\varphi \otimes \psi : X \otimes Y &\rightarrow& {\mathbb{C} }\...
...\rangle &:=&
\langle x,\varphi \rangle \langle y,\psi \rangle
\end{eqnarray*}


für $x \in X$, $y \in Y$eine stetige lineare Fortsetzung auf $X \otimes_\alpha Y$.
Die duale Operatorraum-Norm $\Vert\cdot\Vert _{\alpha^*}$ wird durch die vollständig isometrische Einbettung

\begin{displaymath}X \otimes_{\alpha^*} Y \hookrightarrow
(X^* \otimes_\alpha Y^*)^*
\end{displaymath}

definiert.

(iii)
Die duale Norm $\Vert\cdot\Vert _{\alpha^*}$ ist eine Kreuznorm.
Unter den Operatorraum-Normen auf $X \otimes Y$, für die $\Vert\cdot\Vert _\alpha$ und $\Vert\cdot\Vert _{\alpha^*}$ Kreuznormen sind, gibt es eine kleinste, die injektive Operatorraum-Tensornorm $\Vert\cdot\Vert _\vee$, und eine größte, die projektive Operatoraum-Tensornorm $\Vert\cdot\Vert _\wedge$ [BP91, Prop. 5.10]. Auf dem algebraischen Tensorprodukt $X \otimes Y$ kann man diese mit der injektiven Tensornorm $\Vert\cdot\Vert _\lambda$ und der projektiven Tensornorm $\Vert\cdot\Vert _\gamma$normierter Räume vergleichen:

\begin{displaymath}\Vert\cdot\Vert _\lambda \leq
\Vert\cdot\Vert _{\vee,1} \leq
\Vert\cdot\Vert _{\wedge,1} \leq
\Vert\cdot\Vert _\gamma.
\end{displaymath}

                   


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Lehrstuhl Prof. Dr. Gerd Wittstock
1999-09-04