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Kreuznormen
Eine Operatorraum-Norm
auf
heißt
Kreuznorm,
wenn
für alle
,
,
gilt.
Für Kreuznormen ist
vollständig isometrisch.
Zuweilen betrachtet man nur ein Operatorraum-Norm
auf dem algebraischen
Tensorprodukt zweier Operatorräume X und Y.
Dann verlangt man zumindest die folgenden Eigenschaften
(i)-(iii).24
Operatorraum-Tensornormen haben immer diese Eigenschaften.
- (i)
-
ist eine Kreuznorm.
- (ii)
- Für Linearformen
,
hat die Linearform
für
,
eine stetige lineare Fortsetzung auf
.
-
- Die duale Operatorraum-Norm
wird durch die vollständig isometrische Einbettung
definiert.
- (iii)
-
Die duale Norm
ist eine Kreuznorm.
Unter den Operatorraum-Normen auf
,
für die
und
Kreuznormen sind,
gibt es eine kleinste, die
injektive
Operatorraum-Tensornorm
,
und eine größte, die
projektive
Operatoraum-Tensornorm
[BP91, Prop. 5.10].
Auf dem algebraischen Tensorprodukt
kann man diese mit der
injektiven Tensornorm
und der projektiven Tensornorm
normierter Räume vergleichen:
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Lehrstuhl Prof. Dr. Gerd Wittstock
1999-09-04