Exakte Operatorräume

Ein Operatorraum X heißt exakt [Pis95, §1], wenn mit der kurzen exakten Sequenz

$$0\hookrightarrow K({\cal H}) \hookrightarrow B({\cal H}) \to Q({\cal H})\to 0$$

auch die Sequenz der injektiven Tensorprodukte

$$0\hookrightarrow X\stackrel{\scriptscriptstyle\vee}{\otimes}K... ...e{ $\cal H$\space bezeichnet hier den separablen Hilbertraum.}$$

wieder exakt ist. Ein solcher Operatorraum läßt beliebige exakte Sequenzen von C^*-Algebren beim Tensorieren exakt (für C^*-Algebren siehe [Kir83]). Offensichtlich sind alle endlichdimensionalen Räume exakt.

Exaktheit vererbt sich auf Unterräume. Ebenso ist das injektive Tensorprodukt zweier exakter Operatorräume wieder exakt. Für alle exakten Räume X ist durch die Größe

$${\rm ex}(X)=\Vert X\stackrel{\scriptscriptstyle\vee}{\otimes}... .../(X\stackrel{\scriptscriptstyle\vee}{\otimes}K({\cal H}))\Vert$$

ein Exaktheitsgrad gegeben, und es gilt $1\leq{\rm ex}(X)<\infty$ [Pis95, §1], da die Abbildung

$$(X\stackrel{\scriptscriptstyle\vee}{\otimes}B({\cal H}))/(X\s... ...) ) \to X\stackrel{\scriptscriptstyle\vee}{\otimes}Q({\cal H})$$

eine vollständige Kontraktion ist. Für nicht exakte Operatorräume X vereinbart man ex $(X)=\infty$.

Für eine exakte C^*-Algebra A ist immer ex(A)=1. ²⁶

Für einen Operatorraum X gilt:

$${\rm ex}(X)=\sup\{{\rm ex}(L):L\subset X , \dim L<\infty \} ,$$

weshalb man sich bei der Untersuchung der Exaktheit auf endlichdimensionale Räume beschränken kann. Daraus folgt auch unmittelbar: ex $(X_0)\leq{\rm ex}(X)$, wenn $X_0\subset X$. Für endlichdimensionale Operatorräume läßt sich mit der vollständigen Variante der Banach-Mazur-Distanz

$$d_{CB}(X_1,X_2)=\inf\{\Vert\varphi\Vert _{{\rm cb}} \Vert\varphi^{-1} \Vert _{{\rm cb}}\}$$

( das Infimum wird dabei über alle Isomorphismen $\varphi$ von X₁ nach X₂ gebildet ) die Größe

$$d_{SK}(X):=\inf\{d_{CB}(X,L), \dim (L)=\dim (X), L\subset M_n , n\in {\mathbb{N} }\}$$

definieren²⁷.

Nach [Pis95, Thm. 1] gilt : ex (X)=d_SK(X) , und es ist ex $(X)\leq\sqrt{\dim(X)}$.