Trennungssätze

Seien $A,B\subset B(\mathcal{H})$ unitale C^*-Algebren und $Y\subset B(\mathcal{H})$ ein (A,B)-Bimodul. Dann heißt $K\subset Y$ (A,B)-absolutkonvex, wenn

$$\sum_{i=1}^{n} a_i^*x_ib_i \in K$$

für alle $x_i\in K$ und $a_i\in A$, $b_i \in B$ mit $\sum_{i=1}^{n} a_i^*a_i$, $\sum_{i=1}^n b_i^*b_i \leq {\mathbb{1} }$. Sei Y ein A-Bimodul. Dann heißt K A-konvex, wenn

$$\sum_{i=1}^{n} a_i^*x_ia_i \in K$$

für alle $x_i\in K$ und $a_i\in A$ mit $\sum_{i=1}^{n} a_i^*a_i = {\mathbb{1} }$. Im Fall Y=A stimmt diese Definition also mit der von C^*-konvexen Mengen überein.

Es gelten folgende Trennungssätze [Mag98a, Thm. 1.1]: Seien $A,B\subset B(\mathcal{H})$ unitale C^*-Algebren und $Y\subset B(\mathcal{H})$ ein (A,B)-Bimodul. Sei $K\subset Y$ normabgeschlossen und $y_0\in Y\setminus K$.

1.

Wenn A=B, $0\in K$ und K A-konvex, dann existieren ein Hilbertraum $\mathcal{H}_\pi$, eine zyklische Darstellung $\pi:A\rightarrow B(\mathcal{H}_\pi)$ und ein vollständig beschränkter A- Bimodul-Homomorphismus $\phi:Y\rightarrow B(\mathcal{H}_\pi)$, so daß für alle $y\in K$

$$\mathrm{Re}\,\phi(y)\leq{\mathbb{1} }\mbox{, aber } \mathrm{Re}\,\phi(y_0)\not\leq{\mathbb{1} }.$$

2.

Wenn K (A,B)-absolutkonvex ist, dann existieren ein Hilbertraum $\mathcal{H}_\pi$, Darstellungen $\pi:A\rightarrow B(\mathcal{H}_\pi)$ und $\sigma:B\rightarrow B(\mathcal{H}_\pi)$ und ein vollständig beschränkter (A,B)- Bimodul-Homomorphismus $\phi:Y\rightarrow B(\mathcal{H}_\pi)$, so daß für alle $y\in K$

$$\Vert\phi(y)\Vert\leq 1\mbox{, aber } \Vert\phi(y_0)\Vert>1.$$