C^*-extremale Punkte

Sei A eine unitale C^*-Algebra. Für eine Teilmenge $Y\subset A$ ist die C^*-konvexe Hülle die kleinste C^*-konvexe Menge, die Y umfaßt.

Ein Element x einer C^*-konvexen Menge $K\subset A$ heißt C^*-Extremalpunkt, wenn für alle C^*-Konvexkombinationen $x=\sum_{i=1}^{n} a_i^*x_ia_i$ mit invertierbaren $a_i\in A$ folgt, zu $x_i\in K$ existieren unitäre $u_i\in A$ mit x=u_i^*x_iu_i für $i=1,\ldots,n$ [LP81].

Sei nun A=M_n und sei $K\subset M_n$ kompakt und C^*-konvex. Sei $\tilde{K}$ die matrixkonvexe Hülle von K. Dann ist $\tilde{K}$ eine einfache kompakte und m-konvexe Menge in ${\mathbb{C} }$, so daß $\tilde{K}_n=K$ [Fis96]. In diesem Sinn kann eine C^*-konvexe Teilmenge von M_n auch als m-konvexe Menge in ${\mathbb{C} }$ aufgefaßt werden. Man hat nun den matrixkonvexen Satz von Krein-Milman zur Verfügung. Ferner ergibt sich aus Ergebnissen von Farenick und Morenz [FM93], daß die strukturellen Elemente von $\tilde{K}_n$ genau die nicht reduziblen C^*-Extremalpunkte von K sind. Man kann daher zeigen: Sei $K\subset M_n$ kompakt und C^*-konvex, dann ist K gleich der C^*-konvexen Hülle der C^*-Extremalpunkte von K.

Um ein allgemeineres Ergebnis zu erhalten, kann man die Definition der Extremalpunkte ändern. Sei R ein hyperfiniter Faktor und $K\subset R$ eine C^*-konvexe Teilmenge. $x\in K$ heißt R-Extremalpunkt, wenn für alle C^*-Konvexkombinationen $x=\sum_{i=1}^{n} a_ix_ia_i$ mit $x_i\in K$ und positiven und invertierbaren $a_i\in A$ folgt, daß x=x_i und a_ix=xa_i für $i=1,\ldots,n$ gilt.⁵⁴

Damit läßt sich folgender Satz beweisen [Mag98b, Thm. 1.1]: Sei $K\subset R$ C^*-konvex und ultraschwach kompakt. Dann ist K gleich dem ultraschwachen Abschluß der C^*-konvexen Hülle ihrer R-Extremalpunkte.