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Allgemeine Amplifikation einer Dualität

 Die Matrix-Dualität, die der Dualitätstheorie der Operatorräume zugrundeliegt, ist ein Spezialfall der allgemeinen Amplifikation einer bilinearen Abbildung.

Die allgemeine Amplifikation einer Dualität $\langle X, X^ * \rangle$ von Vektorräumen ist demgemäß definiert als

\begin{displaymath}\langle x, \varphi \rangle^{p \times q}
=
\langle [x_{ij}],...
...ij}, \varphi_{\kappa\lambda} \rangle ]
\in M_p(M_q) = M_{pq}
\end{displaymath}

für $x = [x_{ij}] \in M_{p}(X)$, $\varphi = [\varphi_{\kappa\lambda}] \in M_q(X^*)$.

Liest man $\varphi$ als Abbildung $\varphi : X \rightarrow M_q$ so gilt

\begin{displaymath}\varphi^{(p)}(x) = \langle x, \varphi \rangle^{p \times q}
\end{displaymath}

Zur  Dualität von Tensorprodukten 61 $\langle X \otimes Y, X^* \otimes Y^*\rangle$ gehört die allgemeine Amplifikation

\begin{displaymath}\langle M_p(X \otimes Y), M_q(X^* \otimes Y^*) \rangle.
\end{displaymath}

Es gilt insbesondere

\begin{eqnarray*}\lefteqn{\langle x \otimes y, \varphi \otimes \psi \rangle =
...
...nu)}
\in M_{p_1}(M_{p_2}(M_{q_1}(M_{q_2}))) = M_{p_1p_2q_1q_2}
\end{eqnarray*}


für $x = [x_{ij}] \in M_{p_1}(X)$, $y = [y_{kl}] \in M_{p_2}(Y)$, $\varphi = [\varphi_{\kappa\lambda}] \in M_{q_1}(X^*)$, $\psi = [\psi_{\mu\nu}] \in M_{q_2}(Y^*)$.



Lehrstuhl Prof. Dr. Gerd Wittstock
1999-09-04