Tensorprodukt von Operatormatrizen

Wie üblich erklären wir das algebraische Tensorprodukt von Operatormatrizen $x = [x_{ij}] \in M_{p}(X)$, $y = [y_{kl}] \in M_{q}(Y)$ durch

$$x \otimes y := [ x_{ij} \otimes [y_{kl}]_{k,l} ]_{i,j} \in M_p(X \otimes M_q(Y))$$

Hierbei wurde die Definition $M_p(X) = M_p \otimes X$ und das Assoziativgesetz

$$M_p(X) \otimes M_q(Y) = M_p \otimes (X \otimes M_q(Y)) = M_p(X \otimes M_q(Y))$$ (5)

benutzt. Für die weitere Identifikation beachte man, daß die shuffle-Abbildung ein algebraischer Isomorphismus ist:

$$X \otimes (M_q \otimes Y) \rightarrow M_q \otimes (X \otimes Y),$$ (6)

$$x \otimes (\beta \otimes y) \mapsto \beta \otimes (x \otimes y),$$

für $\beta \in M_q$, $x \in X$, $y \in Y$. Mit Hilfe des shuffle-Isomorphismus identifizieren wir weiter:

$$x \otimes y = [ x_{ij} \otimes [y_{kl}]_{k,l} ]_{i,j} = ... ...ij} \otimes y_{kl}]_{k,l} ]_{i,j} \in M_p(M_q(X \otimes Y)).$$

Zuletzt identifizieren⁵⁹ wir noch wie üblich M_p(M_q) = M_pq

$$[ [x_{ij} \otimes y_{kl}]_{k,l} ]_{i,j} = [ x_{ij} \otimes y_{kl} ]_{(i,k),(j,l)}$$

und erhalten

$${}% M_p(X) \otimes M_q(Y) = M_{pq}(X \otimes Y).$$ (7)

Wir nennen diesen algebraischen Isomorphismus den  shuffle-Isomorphismus

Man beachte, daß für Operatorraum-Tensorprodukte die algebraischen Identifikationen (5) und (6) nur vollständige Kontraktionen sind:

$${\mathbb{M} }_p(X) \otimes_\alpha Y \rightarrow {\mathbb{M} }_p(X \otimes_\alpha Y),$$ (8)

$$X \otimes_\alpha {\mathbb{M} }_q(Y) \rightarrow {\mathbb{M} }_q(X \otimes_\alpha Y).$$ (9)

Im allgemeinen sind dies nicht einmal auf der Grundstufe Isometrien.

Für ein Operatorraum-Tensorprodukt ist also die  shuffle-Abbildung

$${\mathbb{M} }_p(X) \otimes_\alpha {\mathbb{M} }_q(Y) \rightarrow {\mathbb{M} }_{pq}(X \otimes_\alpha Y)$$ (10)

im allgemeinen nur vollständig kontrahierend.

Im Falle des injektiven Operatorraum-Tensorproduktes ist dies natürlich eine vollständige Isometrie.

Man betrachtet die shuffle-Abbildung allgemeiner für Rechteckmatrizen⁶⁰:

$${\mathbb{M} }_{m,n}(X) \otimes_\alpha {\mathbb{M} }_{p,q}(Y) \rightarrow {\mathbb{M} }_{mp,nq}(X \otimes_\alpha Y).$$

Ein Beispiel ist auch die Gleichung von Blecher und Paulsen.