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Tensorielle Matrixmultiplikation

Bei der Definition von vollständig beschränkten bilinearen Abbildungen und der Bildung des Haagerup-Tensorproduktes verwendet man die  tensorielle Matrixmultiplikation [Eff87]

\begin{displaymath}\mbox{$
x \odot y = [x_{ij}] \odot [y_{jk}]
:=
\left[\su...
...1}^l x_{ij} \otimes y_{jk}\right] \in M_{n}(X \otimes Y)
$ }
\end{displaymath}

von Operatormatrizen $x = [x_{ij}] \in M_{n,l}(X)$, $y = [y_{jk}]\in M_{l,n}(Y)$.

Die Amplifikation der bilinearen Abbildung $ \otimes : X \times Y \rightarrow X \otimes Y$ ist

\begin{displaymath}\otimes^{(n,l)} = \odot :
M_{n,l}(X) \times M_{l,n}(Y) \rightarrow M_n(X \otimes Y).
\end{displaymath}

Für skalare Matrizen $\alpha, \gamma \in M_n$, $\beta \in M_l$ gilt

\begin{displaymath}(\alpha x \beta) \odot (y \gamma) = \alpha (x \odot (\beta y)) \gamma.
\end{displaymath}

Wir schreiben kurz $\alpha x \beta \odot y \gamma$.

Für lineare Abbildungen

\begin{eqnarray*}\Phi = [\Phi_{ij}] : \, x &\rightarrow& M_{n,l}(V) \mbox{,}\\
\Psi = [\Phi_{jk}] : \, x &\rightarrow& M_{l,n}(W)\\
\end{eqnarray*}


bezeichnet $\Phi \odot \Psi$ die Abbildung

\begin{displaymath}\Phi \odot \Psi =
\left[\sum_{j=1}^l \Phi_{ij} \otimes \Psi_{jk}\right] :
X \otimes Y \rightarrow M_{n}(V \otimes W),
\end{displaymath}


\begin{displaymath}\Phi \odot \Psi : x \otimes y \mapsto
\left[\sum_{j=1}^l \Phi_{ij}(x) \otimes \Psi_{jk}(y) \right].
\end{displaymath}

Es gilt

\begin{displaymath}(\Phi \odot \Psi)^{(p)}(x \odot y) =
(\Phi^{(p,q)}(x)) \odot (\Psi^{(q,p)}(y))
\end{displaymath}

für $x \in M_{p,q}(X)$, $y \in M_{q,p}(Y)$.

Es sei $\otimes_{\alpha}$ ein Operatorraum-Tensorprodukt . Wir definieren die  tensorielle Matrixmultiplikation $\odot_\alpha$ von Operatormatrizen $S = [S_{i,j}] \in M_{n,l}(\mathit{CB}(X_1,X_2))$, $T = [T_{k,l}] \in M_{l,n}(\mathit{CB}(Y_1,Y_2))$ vollständig beschränkter Abbildungen als

\begin{displaymath}S \odot_\alpha T = \left[\sum_{j=1}^l S_{ij} \otimes_\alpha T...
...(\mathit{CB}(X_1 \otimes_\alpha Y_1, X_2 \otimes_\alpha Y_2))
\end{displaymath}



Lehrstuhl Prof. Dr. Gerd Wittstock
1999-09-04