Satz vom Maximum

Bemerkung 2.6.1  

• Die beiden Sätze dieses Abschnittes gelten allgemeiner für stetige reelle Funktionen auf kompakten Teilmengen der reellen Zahlen. Die Intervalleigenschaft ist unwichtig. Auch die Beweise kann man sinngemäß übernehmen.

• Die Sätze gelten sogar für beliebige kompakte Mengen. Man führt dann sehr ähnliche Beweise, in denen man statt des Supremumsprinzips den Satz von Bolzano-Weierstraß verwendet (vgl. Abschnitt )

• Wir konstruieren im Beweis des Satzes vom Maximum den grösten Punkt, in dem die Funktion ihr Maximum annimmt. Verwendet man stattdessen den Satz von Bolzano-Weierstraß, so findet man nur irgendein Maximum.

Lemma 2.6.2 (Beschränktheits-Lemma)  

Es sei $[a,b] \subset \mathbb{R}$ ein kompaktes Intervall. Dann ist jede stetige Funktion $f: [a,b] \rightarrow \mathbb{R}$ beschränkt.

Bemerkung. Der Satz wird mit einem Widerspruchsbeweis gezeigt.

Beweis (Beschränktheits-Lemma).

Annahme: $f: [a,b] \rightarrow \mathbb{R}$ ist nach oben unbeschränkt.

Man bilde zu $N\in\mathbb{N}$ die nichtleere Menge $A_n$:

$$A_n :=\{ x \mid x\in [a,b]$$, $$f(x)\geqslant n \}$$.$$$$

Nach Lemma existiert

$$s_n :=\max A_n$$   .$$$$

Da $A_n \supset A_{n+1}$, ist die Folge $(s_n)_n$ monoton fallend. Es existiert

$$[a,b]\ni c= \lim_{n\to\infty}s_n$$   .$$$$

Da $f$ stetig ist, folgt ein Widerspruch:

$$f(c) = \lim_{n\to\infty}f(s_n) = \infty$$   .$$$$

Satz 2.6.3 (Satz vom Maximum)  

Es sei $[a,b] \subset \mathbb{R}$ ein nichtleeres, kompaktes Intervall. Dann nimmt jede stetige Funktion $f: [a,b] \rightarrow \mathbb{R}$ ein Maximum an.

D.h., es gibt mindestens ein $\xi \in [a,b]$ so, daß für alle $x \in [a,b]$ gilt:

$$f(x) \leqslant f(\xi)$$   .$$$$

KARL WEIERSTRASS (1815-1897)

Bemerkung. Analog gilt, daß jede stetige Funktion auf einem kompakten Intervall ein Minimum hat.

Die kompaktheit des Intervalls ist eine unverzichtbare Vorrausetzung für den Satz vom Maximum:

Beispiele 2.6.4   Mit der Wackelfunktion () bilde man die Funktion

$$V: (0,1] \ni x \mapsto (1-x)W(x)$$.$$$$

$V$ ist auf $(0,1)$ stetig und beschränkt und hat auf $(0,1]$ weder ein Maximum noch ein Minimum. Es gilt

$$-1 < V(x) < 1 x\in (0,1]$$

$$\sup\limits_{x\in(0,1]} V(x) = 1 \quad \inf\limits_{x\in(0,1]} V(x) = -1$$

Man kann $V$ nicht stetig in $x=0$ fortsetzen und auch keinen Funktionswert bei $0$ so festsetzen, daß $V$ Maximum und Minimum hat.

Mit Korollar ergibt sich das Korollar:

Korollar 2.6.5 (Stetiges Bild eines kompakten Intervalls)  

Sei $I\subset \mathbb{R}$ ein kompaktes Intervall und $f:I \rightarrow \mathbb{R}$ eine stetige Funktion. Dann ist $f(I)$ ein kompaktes Intervall.

Beweis (Satz vom Maximum).

Nach Lemma ist $f: [a,b] \rightarrow \mathbb{R}$ ist nach oben beschränkt:

$$s :=\sup \{ f(x) \mid x \in [a,b] \} \in \mathbb{R}$$.$$$$

Man bilde zu $N\in\mathbb{N}$ die nichtleere Menge $A_n$:

$$\textstyle A_n :=\{ x \mid x\in [a,b]$$, $$f(x)\geqslant s-\frac{1}{n} \}$$   .$$$$

Nach Lemma existiert

$$s_n :=\max A_n$$   .$$$$

Da $A_n \supset A_{n+1}$, ist die Folge $(s_n)_n$ monoton fallend. Es existiert

$$[a,b]\ni c= \lim_{n\to\infty}s_n$$   .$$$$

Da $f$ stetig ist, folgt

$$f(c) = \lim_{n\to\infty}f(s_n) = s = \sup\limits_{x\in[a,b]} f(x)$$   .$$$$