Gleichmäßige Stetigkeit

Definition 2.6.6 (Gleichmäßige Stetigkeit)  

Es sei $I\subset \mathbb{R}$ ein Intervall. Eine Funktion $f:I \rightarrow \mathbb{R}$ heißt gleichmäßig stetig wenn folgende gilt:

Zu jedem $\varepsilon >0$ gibt es ein $\delta>0$, so daß für alle $x$, $y \in I$ aus $\vert x-y\vert < \delta$ stets $\vert f(x)-f(y)\vert<\varepsilon$ folgt.

In Zeichen:

$$\forall \varepsilon >0 \,\exists\; \delta>0 \,\forall x,y\in I\ :\ \vert x-y\vert<\delta \Rightarrow \vert f(x)-f(y)\vert<\varepsilon$$   .$$$$

Bemerkung. Die Feststellungen und gelten sinngemäß auch für die Definition der Gleichmäßigen Stetigkeit.

Was heißt es, daß eine Funktion nicht gleichmäßig stetig ist?

Bemerkung 2.6.7  

1. Eine Funktion $f:I \rightarrow \mathbb{R}$ ist nicht gleichmäßig stetig, wenn folgendes gilt:

   Es gibt ein $\varepsilon _0 > 0$, so daß es zu jedem $\delta>0$ zwei Punkte $x$, $y \in I$ gibt mit $\vert x-y\vert < \delta$ und $\vert f(x)-f(y)\vert\geqslant \varepsilon _0$.

   In Zeichen:

   $$\exists\, \varepsilon _0 > 0 \ \forall\, \delta>0 \ \exists\, x,y\in I$$

   $$:\ \vert x-y\vert<\delta \,\wedge\, \vert f(x)-f(y)\vert\geqslant \varepsilon _0$$

   
   

2. Es reicht die Werte $\delta = \frac{1}{n}$, $(n\in\mathbb{N})$, zu testen:

   Die Funktion $f$ ist nicht gleichmäßig stetig, wenn es ein $\varepsilon _0 > 0$ und zwei Folgen $(x_n)_n$, $(y_n)_n$ in $I$ so gibt, daß

   $$\vert x_n-y_n\vert<\frac{1}{n}$$   und$$\quad \vert f(x_n)-f(y_n)\vert \geqslant \varepsilon _0$$   .$$$$

Beispiele 2.6.8 (zur gleichmäßigen Stetigkeit)  

1. Für $0 < a < 1$ und $x,y \in [0,\infty)$ gilt die folgende Abschätzung:
   $$\vert y^a -x^a \vert< \vert y-x\vert^a \qquad (\star)$$   .$$$$
   Folglich ist für $0 < a < 1$ die Potenzfunktion (Wurzelfunktion) $p_a : [0,\infty) \rightarrow \mathbb{R}$ gleichmäßig stetig.
2. Für die Inversion $p_{-1} : x \mapsto x^{-1}$ und $c>0$ gilt:

   $p_{-1}$ ist gleichmäßig stetig auf $[c,\infty]$.

   $p_{-1}$ ist nicht gleichmäßig stetig auf $(0,c]$.

3. Für die Quadratfunktion $p^2 : x \mapsto x^2$ gilt:
   • $p^2$ ist gleichmäßig stetig auf jedem kompakten Intervall.
   • $p^2$ ist nicht gleichmäßig stetig auf $\mathbb{R}$.

Beweis .

1. Für $0 < a < 1$ ist die Potenzfunktion $p_a : [0,\infty) \rightarrow \mathbb{R}$ nach Feststellung (2) und Bemerkung () streng konkav. Die Steigung ist also streng monoton fallend.

   Für $0< x<y$ ist $0< x$ und $0< y-x < y$. Folglich gilt:

   $$\frac{y^a - x^a}{y-x} < \frac{(y-x)^a-0^a}{(y-x)-0} = \frac{(y-x)^a}{y-x}$$   .$$$$
   Hieraus folgt die Ungleichung $(\star)$.
2.     

       

3. Klar da      $x^2-y^2 = (x+y)(x-y)$.

Satz 2.6.9 (Satz von der gleichmäßigen Stetigkeit)  

Es sei $[a,b] \subset \mathbb{R}$ ein kompaktes Intervall. Dann ist jede stetige Funktion $f: [a,b] \rightarrow \mathbb{R}$ gleichmäßig stetig.

Bemerkung. Der Satz wird mit einem Widerspruchsbeweis gezeigt.

EDUARD HEINE (1821-1861)

Beweis . Annahme: $f:I \rightarrow \mathbb{R}$ ist nicht gleichmäßig stetig.

$$\exists\, \varepsilon _0 > 0 \ \forall\, n\in\mathbb{N}\ \exists\... ... \vert x-y\vert<\frac{1}{n} \wedge \vert f(x)-f(y)\vert\geqslant \varepsilon _0$$   .$$$$

Wir bilden zu $n\in \mathbb{N}$ die Menge $A_n\not=\emptyset$ und die Punkte:

$$A_n :=\{ x \mid x \in I,\ \exists\,y\in I : \vert x-y\vert<\frac{1}{n} \wedge \vert f(x)-f(y)\vert \geqslant \varepsilon _0 \}$$

$$s_n :=\sup A_n$$

$$x_n \in A_n \quad s_n - \frac{1}{n} < x_n \leqslant s_n$$

$$y_n \in I \quad \vert x_n-y_n\vert < \frac{1}{n} \ \wedge\ \vert f(x_n)-f(y_n)\vert \geqslant \varepsilon _0$$

Da $A_n \supset A_{n+1}$, ist die Folge $(s_n)_n$ monoton fallend. Es existiert

$$[a,b]\ni c= \lim_{n\to\infty}s_n = \lim_{n\to\infty}x_n = \lim_{n\to\infty}y_n$$   .$$$$

Da $f$ stetig ist, folgt ein Widerspruch:

$$0 = \vert f(c)-f(c)\vert = \lim_{n\to\infty}\vert f(x_n)-f(y_n)\vert \geqslant \varepsilon _0 > 0$$   .$$$$

Übung. (Gleichmäßige Stetigkeit)

1. Man modifiziere den Beweis von Satz oder den alternativen Beweis im Beispiel und zeige die folgende Charakterisierung der gleichmäßigen Stetigkeit:

Es seien $I$ ein beschränktes Intervall und $f:I \rightarrow \mathbb{R}$. Die folgenden Aussagen sind äquivalent:

1. $f$ ist gleichmäßig stetig.
2. Wenn $(x_n)_n$ eine Cauch-Folge in $I$ ist, so ist $(f(x(x_n))_n$ eine Cauchy-Folge.

2. Man zeige, daß die Äquivalenz (1.) sinngemäß auch für Funktionen $f: I\cap \mathbb{Q}\rightarrow \mathbb{R}$ gilt.

3. Man zeige, daß der Fortsetzungssatz sinngemäß für gleichmäßig stetige Funktionen $f: I\cap \mathbb{Q}\rightarrow \mathbb{R}$ gilt.