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Gleichmäßige Stetigkeit

Definition 2.6.6 (Gleichmäßige Stetigkeit)  

Es sei $ I\subset \mathbb{R}$ ein Intervall. Eine Funktion $ f:I \rightarrow \mathbb{R}$ heißt gleichmäßig stetig wenn folgende gilt:

Zu jedem $ \varepsilon >0$ gibt es ein $ \delta>0$, so daß für alle $ x$, $ y \in I $ aus $ \vert x-y\vert < \delta $ stets $ \vert f(x)-f(y)\vert<\varepsilon $ folgt.

In Zeichen:

$\displaystyle \forall \varepsilon >0 \,\exists\; \delta>0 \,\forall x,y\in I\
:\ \vert x-y\vert<\delta \Rightarrow \vert f(x)-f(y)\vert<\varepsilon$   .$\displaystyle $

Bemerkung. Die Feststellungen [*] und [*] gelten sinngemäß auch für die Definition der Gleichmäßigen Stetigkeit.

Was heißt es, daß eine Funktion nicht gleichmäßig stetig ist?

Bemerkung 2.6.7  

  1. Eine Funktion $ f:I \rightarrow \mathbb{R}$ ist nicht gleichmäßig stetig, wenn folgendes gilt:

    Es gibt ein $ \varepsilon _0 > 0 $, so daß es zu jedem $ \delta>0$ zwei Punkte $ x$, $ y \in I $ gibt mit $ \vert x-y\vert < \delta $ und $ \vert f(x)-f(y)\vert\geqslant \varepsilon _0 $.

    In Zeichen:

    $\displaystyle \exists\, \varepsilon _0 > 0 \ \forall\, \delta>0$ $\displaystyle \ \exists\, x,y\in I$    
      $\displaystyle :\ \vert x-y\vert<\delta \,\wedge\, \vert f(x)-f(y)\vert\geqslant \varepsilon _0$   .    

  2. Es reicht die Werte $ \delta = \frac{1}{n} $, $ \scriptstyle(n\in\mathbb{N})$, zu testen:

    Die Funktion $ f$ ist nicht gleichmäßig stetig, wenn es ein $ \varepsilon _0 > 0 $ und zwei Folgen $ (x_n)_n$, $ (y_n)_n $ in $ I $ so gibt, daß

    $\displaystyle \vert x_n-y_n\vert<\frac{1}{n}$   und$\displaystyle \quad \vert f(x_n)-f(y_n)\vert \geqslant \varepsilon _0$   .$\displaystyle $

Beispiele 2.6.8 (zur gleichmäßigen Stetigkeit)  

  1. Für $ 0 < a < 1 $ und $ x,y \in [0,\infty) $ gilt die folgende Abschätzung:

    $\displaystyle \vert y^a -x^a \vert< \vert y-x\vert^a \qquad (\star)$   .$\displaystyle $

    Folglich ist für $ 0 < a < 1 $ die Potenzfunktion (Wurzelfunktion) $ p_a : [0,\infty) \rightarrow \mathbb{R}$ gleichmäßig stetig.
  2. Für die Inversion $ p_{-1} : x \mapsto x^{-1} $ und $ c>0 $ gilt:
    $ p_{-1} $ ist gleichmäßig stetig auf $ [c,\infty] $.
    $ p_{-1} $ ist nicht gleichmäßig stetig auf $ (0,c] $.
  3. Für die Quadratfunktion $ p^2 : x \mapsto x^2 $ gilt:
    • $ p^2 $ ist gleichmäßig stetig auf jedem kompakten Intervall.
    • $ p^2 $ ist nicht gleichmäßig stetig auf $ \mathbb{R}$.

Beweis .

  1. Für $ 0 < a < 1 $ ist die Potenzfunktion $ p_a : [0,\infty) \rightarrow \mathbb{R}$ nach Feststellung [*](2) und Bemerkung [*] ([*]) streng konkav. Die Steigung ist also streng monoton fallend.

    Für $ 0< x<y $ ist $ 0< x $ und $ 0< y-x < y $. Folglich gilt:

    $\displaystyle \frac{y^a - x^a}{y-x} < \frac{(y-x)^a-0^a}{(y-x)-0}
= \frac{(y-x)^a}{y-x}$   .$\displaystyle $

    Hieraus folgt die Ungleichung $ (\star)$.
  2.      \(\displaystyle
\left\vert\frac{1}{x}-\frac{1}{y}\right\vert \leqslant \frac{\vert x-y\vert}{a^2}
\quad\text{f\uml ur \( x,y \in [a,\infty) \).}
\)

         \(\displaystyle
\frac{1}{x}-\frac{1}{x+\delta} \geqslant \frac{\delta}{(a+\delta)x}
\quad\text{f\uml ur \( 0<x\leqslant a \)und \( 0<\delta \).}
\)

  3. Klar da      $ x^2-y^2 = (x+y)(x-y) $.

Satz 2.6.9 (Satz von der gleichmäßigen Stetigkeit)  

Es sei $ [a,b] \subset \mathbb{R}$ ein kompaktes Intervall. Dann ist jede stetige Funktion $ f: [a,b] \rightarrow \mathbb{R}$ gleichmäßig stetig.

Bemerkung. Der Satz wird mit einem Widerspruchsbeweis gezeigt.


EDUARD HEINE (1821-1861)

Beweis . Annahme: $ f:I \rightarrow \mathbb{R}$ ist nicht gleichmäßig stetig.

$\displaystyle \exists\, \varepsilon _0 > 0 \ \forall\, n\in\mathbb{N}\ \exists\...
... \vert x-y\vert<\frac{1}{n} \wedge \vert f(x)-f(y)\vert\geqslant \varepsilon _0$   .$\displaystyle $

Wir bilden zu $ n\in \mathbb{N}$ die Menge $ A_n\not=\emptyset $ und die Punkte:

$\displaystyle A_n :=\{ x \mid x \in I,\ \exists\,y\in I : \vert x-y\vert<\frac{1}{n} \wedge \vert f(x)-f(y)\vert \geqslant \varepsilon _0 \}$   ,    
$\displaystyle s_n :=\sup A_n$   ,    
$\displaystyle x_n \in A_n$   mit$\displaystyle \quad s_n - \frac{1}{n} < x_n \leqslant s_n$,    
$\displaystyle y_n \in I$   mit$\displaystyle \quad \vert x_n-y_n\vert < \frac{1}{n} \ \wedge\ \vert f(x_n)-f(y_n)\vert \geqslant \varepsilon _0$   .    

Da $ A_n \supset A_{n+1} $, ist die Folge $ (s_n)_n$ monoton fallend. Es existiert

$\displaystyle [a,b]\ni c= \lim_{n\to\infty}s_n = \lim_{n\to\infty}x_n
= \lim_{n\to\infty}y_n$   .$\displaystyle $

Da $ f$ stetig ist, folgt ein Widerspruch:

$\displaystyle 0 = \vert f(c)-f(c)\vert
= \lim_{n\to\infty}\vert f(x_n)-f(y_n)\vert \geqslant \varepsilon _0 > 0$   .$\displaystyle $

Übung. (Gleichmäßige Stetigkeit)

1. Man modifiziere den Beweis von Satz [*] oder den alternativen Beweis im Beispiel [*] und zeige die folgende Charakterisierung der gleichmäßigen Stetigkeit:

Es seien $ I $ ein beschränktes Intervall und $ f:I \rightarrow \mathbb{R}$. Die folgenden Aussagen sind äquivalent:

  1. $ f$ ist gleichmäßig stetig.
  2. Wenn $ (x_n)_n$ eine Cauch-Folge in $ I $ ist, so ist $ (f(x(x_n))_n $ eine Cauchy-Folge.

2. Man zeige, daß die Äquivalenz (1.) sinngemäß auch für Funktionen $ f: I\cap \mathbb{Q}\rightarrow \mathbb{R}$ gilt.

3. Man zeige, daß der Fortsetzungssatz [*] sinngemäß für gleichmäßig stetige Funktionen $ f: I\cap \mathbb{Q}\rightarrow \mathbb{R}$ gilt.


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Analysis1-A.Lambert 2001-02-09