Prof. Dr. Roland Speicher

Tobias Mai

Seminar / Hauptseminar
zur nichtkommutativen Funktionentheorie
(Free Analysis)

(Sommersemester 2014)

Aktuelles



Zeit und Ort

Do 14 s.t., im Zeichensaal (U.39), Gebäude E2 5


Inhalt

Zu den mächtigsten Werkzeugen der Funktionalanalysis zählen zweifelsohne
die verschiedenen Funktionalkalküle. Im Kern geht es dabei um die Frage, für
welche Funktionen f in einer Variablen bei einem gegebenen Operator T eine
sinnvolle Definition von f(T) möglich ist. Für Polynome f ist dies noch trivial.
Weniger offensichtlich ist hingegen der analytische Funktionalkalkül, wonach
f(T) auch für jede Funktion f definiert werden kann, die in einer offenen Umgebung
des Spektrums von T holomorph ist.

Betrachtet man Tupel (T1,...,Tn) paarweise kommutierender Operatoren, so
lassen sich für holomorphe Funktionen f mehrerer Variablen auch allgemeinere
Objekte der Form f(T1,...,Tn) einführen. Für nicht-kommutierende Operatoren
ist die Situation hingegen ungleich schwieriger.

In einer Reihe bahnbrechender Arbeiten schuf Joseph L. Taylor um das Jahr 1970
eine Theorie für gerade solche Tupel nicht-kommutierender Operatoren, indem er
die üblichen "kommutativen" Funktionen durch "nicht-kommutative" Funktionen
ersetzte. Taylors Methoden wurden 1995 von Dan-Virgil Voiculescu aufgegriffen
und für Anwendungen in der freie Wahrscheinlichkeitstheorie zu einer

"Analysis at the highest degree of noncommutativity"

weiterentwickelt. Die sogenannte freie Analysis kommt inzwischen in der Zufallsmatrizen-
und Systemtheorie zum Einsatz und stellt aktuell ein sehr aktives Forschungsgebiet dar.

In diesem Seminar wollen wir die Grundlagen der freien Analysis anhand der Übersichtsarbeit
Foundations of Noncommutative Function Theory von Dmitry S. Kaliuzhnyi-Verbovetskyi
und Victor Vinnikov erarbeiten.

Vorausgesetzt werden Kenntnisse in der linearen Algebra und der Analysis. Gegebenenfalls
können Bachelor- und Masterarbeiten im Anschluss an das Seminar vergeben werden.

Ankündigung des Seminars

Vortragsübersicht

Vortragsplanung

Hinweis: Es wird grundsätzlich ein Tafelvortrag erwartet.


Literatur



Bei Fragen gerne bei Moritz Weber oder bei Tobias Mai melden!


Aktualisiert am: 30. Juni 2014   Tobias Mai Impressum