Charakterisierungen

Im Zusammenhang mit dem Spalten-Hilbertraum genügt es statt der cb-Norm eines Operators T seine    Zeilennorm

$$\Vert T\Vert _{\mathrm{row}} :=\sup_{n \in {\mathbb{N} }} \s... ...ft\Vert\left[Tx_1 \ldots Tx_n\right]\right\Vert _{M_{1,n}(Y)}$$

oder seine    Spaltennorm

$$\Vert T\Vert _{\mathrm{col}} :=\sup_{n \in {\mathbb{N} }} \s... ... \vdots \\ Tx_n \end{array} \right]\right\Vert _{M_{n,1}(X)}$$

zu berechnen, um Aussagen über seine vollständige Beschränktheit zu erhalten. Sei X ein Operatorraum und $S:{\mathcal{C}}_\mathcal{H}\rightarrow X$ bzw. $T:X\rightarrow {\mathcal{C}}_\mathcal{H}$dann ist $\Vert S\Vert _\mathrm{cb}= \Vert S\Vert _{\mathrm{row}}$ bzw. $\Vert T\Vert _\mathrm{cb}= \Vert T\Vert _{\mathrm{col}}$ [Mat94, Prop. 4] bzw. [Mat94, Prop. 2].

Wir haben die folgenden   Charakterisierungen des Spalten-Hilbertraums

(A)

unter den hilbertschen Operatorräumen [Mat94, Thm. 8]:

Ist X ein Operatorraum auf einem Hilbertraum $\mathcal{H}$, so sind äquivalent :

1.

Es ist $X \stackrel{\mathrm{cb}}{=}{\mathcal{C}}_\mathcal{H}$ vollständig isometrisch.

2.

Für alle Operatorräume Y und alle $T:X\rightarrow Y$ ist $\Vert T\Vert _{\mathrm{cb}}=\Vert T\Vert _{\mathrm{row}}$ und für alle $S:Y\rightarrow X$ ist $\Vert S\Vert = \Vert S\Vert _{\mathrm{row}}$.

3.

Für alle Operatorräume Y und alle $T:Y\rightarrow X$ ist $\Vert T\Vert _\mathrm{cb}= \Vert T\Vert _{\mathrm{col}}$ und für alle $S:X\rightarrow Y$ist $\Vert S\Vert = \Vert S\Vert _{\mathrm{col}}$.

4.

X stimmt mit dem maximalen hilbertschen Operatorraum auf den Spalten und mit dem minimalen hilbertschen Operatorraum auf den Zeilen überein. Es gilt

$$\begin{eqnarray*}M_{n,1}(X) & = & M_{n,1}(\mathit{MAX}(\mathcal{H})) \\ M_{1,n}(X) & = & M_{1,n}(\mathit{MIN}(\mathcal{H})) \end{eqnarray*}$$

isometrisch.

(B)

unter allen Operatoräumen:

Ist X ein Operatorraum, so sind äquivalent:

1.

Es existiert ein Hilbertraum $\mathcal{H}$, so daß $X \stackrel{\mathrm{cb}}{=}{\mathcal{C}}_\mathcal{H}$ vollständig isometrisch.

2.

Es sind

$$M_{n,1}(X) = \oplus_2 M_1(X)$$

und

$$M_{1,n}(X) = M_{1,n}(\mathit{MIN}(M_1(X)))$$

isometrisch [Mat94, Thm. 10].

3.

$\mathit{CB}(X)$ mit der Komposition als Multiplikation ist eine Operatoralgebra [Ble95, Thm. 3.4].