Formeln für das projektive Operatorraum-Tensorprodukt

1.

      Für normierte Räume E, F gilt vollständig isometrisch [BP91, Prop. 4.1]

$$\begin{eqnarray*}MAX(E) \stackrel{\scriptscriptstyle\wedge}{\otimes}MAX(F) &\stackrel{\mathrm{cb}}{=}& MAX(E \otimes_\gamma F). \end{eqnarray*}$$

2.

     Für das projektive Operatorraum-Tensorprodukt von Spalten-Hilberträumen ${\mathcal{C}}$, Zeilen-Hilberträumen ${\mathcal{R}}$ und einem beliebigen Operatorraum X gilt [ER91], [Ble92b, Prop. 2.3]

(a)

  ${\mathcal{C}}_\mathcal{H}\stackrel{\scriptscriptstyle\wedge}{\otimes}X \stackrel{\mathrm{cb}}{=}X \otimes_{h}{\mathcal{C}}_\mathcal{H}$

(b)

${\mathcal{R}}_\mathcal{H}\stackrel{\scriptscriptstyle\wedge}{\otimes}X \stackrel{\mathrm{cb}}{=}{\mathcal{R}}_\mathcal{H}\otimes_{h}X$

(c)

  ${\mathcal{C}}_\mathcal{H}\stackrel{\scriptscriptstyle\vee}{\otimes}{\mathcal{C}... ...l{K}\stackrel{\mathrm{cb}}{=} {\mathcal{C}}_{\mathcal{H}\otimes_2 \mathcal{K}}$

(d)

  ${\mathcal{R}}_\mathcal{H}\stackrel{\scriptscriptstyle\vee}{\otimes}{\mathcal{R}... ...l{K}\stackrel{\mathrm{cb}}{=} {\mathcal{R}}_{\mathcal{H}\otimes_2 \mathcal{K}}$

(e)

  ${\mathcal{R}}_{\overline{\mathcal{H}}} \stackrel{\scriptscriptstyle\wedge}{\oti... ...}{\mathcal{C}}_\mathcal{K}\stackrel{\mathrm{cb}}{=} T(\mathcal{K},\mathcal{H})$,

(f)

  ${\mathcal{R}}_\mathcal{H}\stackrel{\scriptscriptstyle\wedge}{\otimes}X \stackre... ...}}{=} X \stackrel{\scriptscriptstyle\wedge}{\otimes}T(\mathcal{H},\mathcal{K})$.

(g)

  $({\mathcal{R}}_\mathcal{H}\stackrel{\scriptscriptstyle\wedge}{\otimes}X \stackr... ...thcal{K})^*\stackrel{\mathrm{cb}}{=} \mathit{CB}(X,B(\mathcal{K},\mathcal{H}))$,

wobei der Raum der Spurklasse-Operatoren $T(\mathcal{H},\mathcal{K})$ seine natürliche Operatorraumstruktur $T({\mathcal{H},\mathcal{K}}) :\stackrel{\mathrm{cb}}{=}K({\mathcal{K}, \mathcal{H}})^*$ trägt.

3.

     Es seien M, N von Neumann-Algebren und $M \overline{\otimes}N$ das von Neumann-Tensorprodukt²⁸. Für die prädualen Räume gilt

$$M_* \stackrel{\scriptscriptstyle\wedge}{\otimes}N_* \stackrel{\mathrm{cb}}{=}(M \overline{\otimes}N)_*$$

vollständig isometrisch. Es seien G, H lokalkompakte topologische Gruppen und $\mathit{VN}(G)$, $\mathit{VN}(H)$ die Gruppen-von Neumann-Algebren. Es ist $\mathit{VN}(G)\, \overline{\otimes}\, \mathit{VN}(H) = \mathit \mathit{VN}(G \times H)$. Da man die Fourier-Algebra A(G) mit dem Prädual der Gruppen-von Neumann-Algebra $\mathit{VN}(G)$ identifizieren kann [Eym64], folgt

$$A(G) \stackrel{\scriptscriptstyle\wedge}{\otimes}A(H) \stackrel{\mathrm{cb}}{=}A(G \times H)$$

vollständig isometrisch [ER90a].