Matrixkonvexität

    Eine  Menge K von Matrizen über V besteht aus je einer Teilmenge $K_n\subset M_n(V)$ zu jedem $n\in{\mathbb{N} }$. Ist nicht für jedes n eine Menge $K_n\subset M_n(V)$ gegeben, so kann man dennoch von einer Menge von Matrizen sprechen, indem man fehlende Stufen als $\emptyset$setzt.⁴⁷

Eine Menge K von Matrizen über V heißt    matrixkonvex [Wit84b], falls für alle $x\in K_n$ und $y\in K_m$

$$x\oplus y\in K_{n+m} \mbox{,}$$

und für alle $x\in K_n$ und $\alpha\in M_{n,m}$ mit $\alpha^*\alpha={\mathbb{1} }_m$

$$\alpha^*x\alpha\in K_m \mbox{.}$$

Eine Menge K von Matrizen über V heißt     absolut matrixkonvex [EW97a], falls für alle $x\in K_n$ und $y\in K_m$

$$x\oplus y\in K_{n+m} \mbox{,}$$

und für alle $x\in K_n$, $\alpha\in M_{n,m}$ und $\beta\in M_{m,n}$ mit $\Vert\alpha\Vert$, $\Vert\beta\Vert\leqslant 1$

$$\alpha x\beta\in K_m \mbox{.}$$

Eine Menge K von Matrizen über V heißt   Matrixkegel [Pow74], falls für alle $x\in K_n$ und $y\in K_m$

$$x\oplus y\in K_{n+m} \mbox{,}$$

und für alle $x\in K_n$ und $\alpha\in M_{n,m}$

$$\alpha^*x\alpha\in K_m \mbox{.}$$

Eine Menge K von Matrizen über V ist genau dann matrixkonvex, falls alle     Matrixkonvexkombinationen von Elementen von K wieder in K liegen. K ist genau dann absolut matrixkonvex,falls alle     Matrixabsolutkonvexkombinationen von Elementen von K wieder in K liegen. Dabei ist eine  Matrixkonvexkombination von x₁, ..., x_n ( $x_i\in K_{k_i}$) eine Summe der Form $\sum_{i=1}^n\alpha_i^*x_i\alpha_i$ mit Matrizen $\alpha_i\in M_{k_i,j}$, so daß $\sum_{i=1}^n\alpha_i^*\alpha_i={\mathbb{1} }_j$. Eine Matrixabsolutkonvexkombination von x₁, ..., x_n ist eine Summe der Form $\sum_{i=1}^n\alpha_i x_i\beta_i$ mit Matrizen $\alpha_i\in M_{j,k_i}$ und $\beta_i\in M_{k_i,j}$, so daß $\sum_{i=1}^n\alpha_i\alpha_i^*\leqslant{\mathbb{1} }_j$und $\sum_{i=1}^n\beta_i^*\beta_i\leqslant{\mathbb{1} }_j$.

Ist V ein topologischer Vektorraum, so sind topologische Begriffe stufenweise zu verstehen: Eine Menge K von Matrizen über V heißt zum Beispiel abgeschlossen, falls alle Stufen K_n abgeschlossen sind.