Trennungssätze

    Ein wichtiges Hilfsmittel der Theorie sind die folgenden Trennungssätze.

Sei $\langle V,W\rangle$ eine (nicht ausgeartete) Dualität von Vektorräumen. Dadurch sind V und W mit schwachen Topologien versehen und die Matrizenstufen mit der zugehörigen Produkttopologie. Zu $v=[v_{i,j}]\in M_n(V)$ und $w=[w_{k,l}]\in M_m(W)$ ist $\langle v,w\rangle$ erklärt als die Amplifikation der Dualität:

$$\langle v,w\rangle=[\langle v_{i,j},w_{k,l}\rangle]_{(i,k),(j,l)} \mbox{.}$$

Man beachte, daß die Matrizen nicht total geordnet sind; $\not\leqslant$ bedeutet also nicht >.

Satz:⁴⁹ Sei $\langle V,W\rangle$ eine Dualität von Vektorräumen, K eine abgeschlossene Menge von Matrizen über V, und $v_0\in M_n(V)\setminus K_n$.

a)

[WW99, Thm. 1.6] Ist K matrixkonvex, so gibt es ein $w\in M_n(W)$ und $\alpha\in (M_n)_{\mathrm{sa}}$, so daß für alle $m\in {\mathbb{N} }$ und $v\in K_m$

$$\mathrm{Re}\langle v,w\rangle\leqslant{\mathbb{1} }_m\otimes\... ... v_0,w\rangle\not\leqslant{\mathbb{1} }_n\otimes\alpha \mbox{.}$$

b)

[EW97b, Thm. 5.4] Ist K matrixkonvex und $0\in K_1$, so gibt es ein $w\in M_n(W)$, so daß für alle $m\in {\mathbb{N} }$ und $v\in K_m$

$$\mathrm{Re}\langle v,w\rangle\leqslant{\mathbb{1} }_{nm} \mbo... ...e}\langle v_0,w\rangle\not\leqslant{\mathbb{1} }_{n^2} \mbox{.}$$

c)

[Bet97, p. 57] Ist K ein Matrixkegel, so gibt es ein $w\in M_n(W)$ so daß für alle $m\in {\mathbb{N} }$ und $v\in K_m$

$$\mathrm{Re}\langle v,w\rangle\leqslant 0 \mbox{, aber } \mathrm{Re}\langle v_0,w\rangle\not\leqslant 0 \mbox{.}$$

d)

[EW97a, Thm. 4.1] Ist K absolut matrixkonvex, so gibt es ein $w\in M_n(W)$, so daß für alle $m\in {\mathbb{N} }$ und $v\in K_m$

$$\Vert\langle v,w\rangle\Vert\leqslant 1 \mbox{, aber } \Vert\langle v_0,w\rangle\Vert >1 \mbox{.}$$

Ein Beweis des Satzes von Ruan beruht auf dem Trennungssatz für absolut matrixkonvexe Mengen, angewandt auf die Einheitskugel eines Operatorraums.