Konvexität

Da in der Funktionalanalysis bei der Betrachtung normierter oder geordneter Vektorräume konvexe Mengen eine wichtige Rolle spielen, suchte man auch nach nichtkommutativen Verallgemeinerungen von Konvexität, die für Vektorräume von Operatoren geeignet sind. Für C^*-Algebren wurden C^*-konvexe Mengen eingeführt, für Operatorräume matrixkonvexe Mengen. Die These ist, daß die matrixkonvexen Mengen die konvexen Mengen der Operatorräume sind.

In der Konvexitätstheorie führt man ausgezeichnete Punkte, die sogenannten Extremalpunkte, ein und untersucht, wie man Punkte kompakter konvexer Mengen als Konvexkombination von Extremalpunkten darstellen kann. Die Ergebnisse dazu sind im Satz von Krein-Milman und dessen Verschärfungen, den Darstellungssätzen von Choquet, gegeben.

Gelten für nichtkommutative Konvexität analoge Aussagen? Die beiden Unterkapitel Matrixextremalpunkte und C^*-extremale Punkte fassen bisherige Antworten auf diese Frage zusammen.

Veröffentlichungen über nichtkommutative Konvexität sind unter anderem [EW97b], [WW99], [FZ98], [Mor94], [Fuj94].