Bipolarensätze

Sei $\langle V,W\rangle$ eine Dualität von Vektorräumen und K eine Menge von Matrizen über V.

  Die Matrixpolare von K ist eine Menge D von Matrizen über W, gegeben durch⁵⁰

$$D_n=\{w\in M_n(W)\;\vert\;\mathrm{Re}\langle v,w\rangle\leqsl... ...nm} \mbox{ f\uml {u}r alle $m\in{\mathbb{N} }$ , $v\in K_m$ }\}$$

  Die absolute Matrixpolare von K ist eine Menge D von Matrizen über W, gegeben durch⁵¹

$$D_n=\{w\in M_n(W)\;\vert\;\Vert\langle v,w\rangle\Vert\leqslant 1 \mbox{ f\uml {u}r alle $m\in{\mathbb{N} }$ , $v\in K_m$ }\}$$

Analog sind Polaren von Mengen von Matrizen über W erklärt.

Es gelten die Bipolarensätze:     Sei $\langle V,W\rangle$ eine Dualität von Vektorräumen und K eine Menge von Matrizen über V.

a)

[EW97b] K stimmt genau dann mit seiner Matrixbipolaren überein, wenn K abgeschlossen und matrixkonvex ist und $0\in K_1$.

b)

[EW97a] K stimmt genau dann mit seiner absoluten Matrixbipolaren überein, wenn K abgeschlossen und absolut matrixkonvex ist.

Die Matrixbipolare einer Menge K von Matrizen über V ist daher die kleinste abgeschlossene und matrixkonvexe Menge, die K und 0 enthält.

Die absolute Matrixbipolare einer Menge K von Matrizen über V ist daher die kleinste abgeschlossene und absolut matrixkonvexe Menge, die K enthält.

    Damit erhält man eine Charakterisierung der Einheitskugeln von ${\mathit{MIN}(E)}$ und ${\mathit{MAX}(E)}$ für einen Banachraum E: Die Einheitskugel von ${\mathit{MIN}(E)}$ ist die absolute Matrixpolare der Menge von Matrizen Ball(E^*). Die Einheitskugel von ${\mathit{MAX}(E)}$ ist gegeben als die absolute Matrixbipolare der Menge von Matrizen Ball(E).