Arbeitsgruppe Gekeler, Universität des Saarlandes

SEMINAR/PROSEMINAR ZUR LINEAREN ALGEBRA SS 15

Lie-Algebren und ihre Darstellungen

Das Seminar/Proeminar findet statt:	Di 14-16 Uhr, im Zeichensaal (Geb. E 2.5)
Leiter der Veranstaltung:	Prof. Dr. Ernst-Ulrich Gekeler (gekeler(at)math.uni-sb.de)
Mitarbeiter:	Philipp Stopp (stopp(at)math.uni-sb.de)
Creditpoints:	3 - 4 (je nach Prüfungsordnung)

News:

Die erste Sitzung findet statt am Dientag, den 21. April 2015.
Die Vorbesprechung fand statt am Dienstag, den 10. Februar 2015.

Voraussetzungen:

Vorausgesetzt werden Kenntnisse entsprechend der Vorlesung "Lineare Algebra I".

Um was geht es? An wen richtet sich die Veranstaltung?

Im Sommersemester werden wir ein Seminar/Proseminar zur Algebra und Zahlentheorie anbieten (Seminar im Sinn der Bachelor-Prüfungsordnung, Proseminar nach der Lehramts-Prüfungsordnung, 3 Leistungspunkte).

Gegenstand ist die Theorie der Lie-Algebren und ihrer Darstellungen.

Eine Lie-Algebra über dem Körper K ist ein K - Vektorraum L versehen mit einer bilinearen, aber i.a. nicht assoziativen "Multiplikation"
L x L --> L
(x,y) --> [x,y]
und einigen zusätzlichen Eigenschaften. Z.B. ist der R - Vektorrraum R³ mit dem "Vektorprodukt" eine Lie-Algebra.

Lie-Algebren spielen eine wichtige Rolle in der Algebra, der Theorie der Lie-Gruppen (= kontinuierliche Gruppen, z.B. GL(n,R) oder andere Matrizengruppen über R), der harmonischen Analysis, der mathematischen Physik und vielen weiteren Teilbereichen der Mathematik. Ihre Kenntnis ist Voraussetzung für den tieferen Einstieg in diese Gebiete.

Im Seminar werden wir uns auf die algebraischen Aspekte beschränken, die mit Mitteln der Linearen Algebra zugänglich sind. Dabei werden wir wichtige Methoden und Vorgehensweisen der Algebra kennenlernen, aber auch den effektiven Umgang mit Matrizen einüben. Deshalb werden über die Lineare Algebra I hinaus keine weiteren Vorkenntnisse vorausgesetzt.
Das Seminar wendet sich an Studierende (BA, LA in Mathematik, Informatik, Physik) in der ersten Studienhälfte des jeweiligen Studiengangs, vorzugsweise an die Hörer der Vorlesung Lineare Algebra II des Sommersemesters.

(Die vollständige Seminarankündigung ist nochmals hier zu finden.)

Scheinvergabe:

Den Schein gibt es für eine aktive Teilnahme am Seminar (d.h. für das erfolgreiche Halten eines Vortrages, der Abgabe des entsprechenden Handouts dazu und der Teilnahme an einem abschließenden Einzelgespräch).

Literatur:

James E. Humphreys: Introduction to Lie Algebras and Representation Theory, Springer-Verlag
Jean-Pierre Serre: Complex Seminsimple Lie Algebras, Springer Verlag
Karin Erdman: Introduction to Lie Algebras, Springer Verlag

Vortragseinteilung:

Hier findet Ihr die Termine und knappe Inhaltsbeschreibungen zu Euren Vorträgen aufgelistet (konkrete Seitenzahlen und Nummern zu Abschnitten, Exercises, ... beziehen sich auf das Buch "Introduction to Lie Algebras and Representation Theory" von James E. Humphreys):

	Termin:	Themen sind insbesondere:	Ausarbeitung:	VorträgerIn:
1.	21.04.2015	Abelsche Gruppen, Homomorphismen, Isomorphiesätze, Verallgemeinerung: Ringe, Ringhom., Links- Rechts- zweiseitige Ideale, Moduln, Modulhom., Isomorphiesätze		Prof. Gekeler
2.	28.04.2015	Kap. I.1, einige der Exercises: Ex.1, Ex.6, ... Definition Lie Algebra, Beispiele aus 1.2, Derivationen	Vortrag_2.pdf	M. Recktenwald
3.	05.05.2015	Kap. I.2, S. 6-10, Exercise 1 Ideale, Homomorphismen, Darstellungen, Isomorphiesatz, Automorphismen	Vortrag_3.pdf	E. Molter
4.	12.05.2015	Kap. I.3, S. 10-14, Einiges von Ex. 1,2,6,7 Auflösbare und nilpotente Lie-Algebren, Def. von Rad(L), halbeinfache Lie-Algebren, Satz von Engel	Vortrag_4.pdf	V. Preiß
5.	19.05.2015	Kap. II, 4.1 - 4.2, S. 15-18 Satz von Lie, Jordan-Chevalley-Zerlegung	Vortrag_5.pdf	F. Günther
6.	26.05.2015	Kap. II, 4.3, 5.1, 5.2, S. 19-23 Cartan-Kriterium, Killing-Form	Vortrag_6.pdf	J. Baltes
7.	02.06.2015	Kap. II, 6.1 - 6.3, S. 25-29 L-Moduln und ihre Hom., L-Modulstruktur auf V $\otimes$ W, Hom(V,W), V*, Casimir-Element, Satz von Weyl	Vortrag_7.pdf	P. Henn
8.	09.06.2015	Kap II, 5.3, 5.4, S. 23-24, 6.4, S. 29/30, Ex. 4 S.24, Ex. 6 S. 31 Jordan-Zerlegungen	Vortrag_8.pdf	M. Helmer
9.	16.06.2015	Kap II.7, S. 31-34, Ex. 4, S. 34 Darstellungen von sl(2)	Vortrag_9.pdf	M. Michajlow
10./11.	23./30.06.2015	Kap II.8, S. 35-41, Wurzelzerlegung, alles explizieren für A_l = sl(l+1)	Vortrag_10.pdf Vortrag_11.pdf	D. de Agazio / D. Wißler
12./13./14.	07./14./21.07.2015	Kap III. 9, 10, 11 Wurzelsysteme, Wurzelbasis, Weyl-Gruppe, Klassifikation der einfachen Wurzelsysteme durch Dynkin-Diagramme	Vortrag_12.pdf Vortrag_13.pdf Vortrag_14.pdf	S. Homrighausen / I. Schlegel / D. Zimmer
15.	28.07.2015	wird noch festgelegt		noch frei

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letzte Änderung: 27. Juli 2015