Beispiele

Im folgenden versehen wir die Räume $\ell_p$ ( $1 \leq p \leq \infty$) mit dem punktweisen Produkt und betrachten sie so als Banachalgebren. Auf den   Schatten-Klassen S_p ( $1 \leq p \leq \infty$) betrachten wir entweder die übliche Multiplikation oder das   Schur-Produkt.

1.

Der Raum $\ell_2$ [BLM95, Thm. 2.1]

Mit den nachstehenden Operatorraum-Strukturen ist $\ell_2$ vollständig isometrisch isomorph zu einer Operatoralgebra:       ${\mathcal{R}}_{\ell_2}$, ${\mathcal{C}}_{\ell_2}$, ${\mathit{OH}_{\ell_2}}$, ${\mathcal{R}}_{\ell_2} \cap {\mathcal{C}}_{\ell_2}$, $\mathit{MAX}_{\ell_2}$.
Allgemein ist der Raum $\ell_2$ vollständig isometrisch isomorph zu einer Operatoralgebra, wenn man ihn mit einer Operatorraum-Struktur versieht, die sowohl ${\mathcal{R}}_{\ell_2}$ als auch ${\mathcal{C}}_{\ell_2}$   dominiert .

Mit den nachstehenden Operatorraum-Strukturen ist $\ell_2$ nicht vollständig isomorph zu einer Operatoralgebra: ${\mathcal{R}}_{\ell_2}+{\mathcal{C}}_{\ell_2}$, $\mathit{MIN}_{\ell_2}$.
Allgemein ist der Raum $\ell_2$ nicht vollständig isomorph zu einer Operatoralgebra, wenn er eine Operatorraum-Struktur trägt, die sowohl von ${\mathcal{R}}_{\ell_2}$ als auch von ${\mathcal{C}}_{\ell_2}$   dominiert wird.

2.

Die Räume¹⁹ ${\mathit{MIN}}(\ell_p)$, ${\mathit{MAX}}(\ell_p)$ und $O\ell_p=({\mathit{MIN}}(\ell_{\infty}), {\mathit{MAX}}(\ell_1))_{\frac{1}{p}}$
In den Randfällen p=1 resp. $p=\infty$ erhält man zwei gegensätzliche Resultate [BLM95, Thm. 3.1]:

(a)

Mit jeder beliebigen Operatorraum-Struktur ist $\ell_1$ vollständig isometrisch isomorph zu einer Operatoralgebra.

(b)

${\mathit{MIN}}(\ell_{\infty})$ist bis auf vollständige Isomorphie die einzige Operatoralgebra-Struktur auf $\ell_{\infty}$.

Für $1 \leq p \leq \infty$ gilt (vgl. [BLM95, Thm. 3.4]):

(a)

${\mathit{MIN}}(\ell_p)$ ist vollständig isomorph zu einer Operatoralgebra genau dann, wenn p=1 oder $p=\infty$.

(b)

${\mathit{MAX}}(\ell_p)$ ist im Falle $1 \leq p \leq 2$ vollständig isometrisch isomorph zu einer Operatoralgebra. Sonst ist ${\mathit{MAX}}(\ell_p)$ nicht vollständig isomorph zu einer Operatoralgebra.

Dagegen liefert die durch komplexe Interpolation erhaltene Operatorraum-Struktur auf den $\ell_p$-Räumen stets die einer Operatoralgebra. Genauer [BLM95, Cor. 3.3]:
Für jedes $1 \leq p \leq \infty$ ist $O\ell_p$ vollständig isometrisch isomorph zu einer Operatoralgebra.

3.

Die Schatten-Klassen S_p

Wir schreiben OS_p für die Operatorraum-Struktur, die G. Pisier auf S_p eingeführt hat. Man erhält diese Operatorraum-Struktur durch komplexe Interpolation zwischen $S_{\infty}=K(\ell_2)$ und $S_1 = K(\ell_2)^*$.

(a)

Betrachten wir zunächst das gewöhnliche Produkt auf den Schatten-Klassen S_p. Hierfür ergibt sich das nachstehende negative Resultat [BLM95, Thm. 6.3]: Für kein $1 \leq p < \infty$ ist der Operatorraum OS_p mit dem gewöhnlichen Produkt vollständig isomorph zu einer Operatoralgebra.

(b)

Betrachten wir nun das Schur-Produkt auf den Schatten-Klassen S_p. Hiermit sind, sogar für verschiedene Operatorraum-Strukturen, positive Ergebnisse möglich:

(b1)

${\mathit{MAX}}(S_p)$ mit dem Schur-Produkt ist im Falle $1 \leq p \leq 2$ vollständig isometrisch isomorph zu einer Operatoralgebra [BLM95, Thm. 6.1].

(b2)

OS_p mit dem Schur-Produkt ist im Falle $2 \leq p \leq \infty$ vollständig isometrisch isomorph zu einer Operatoralgebra [BLM95, Cor. 6.4].

Man beachte: Der Randfall OS₁ (und ebenso OS₁^op) ist weder mit dem gewöhnlichen noch mit dem Schur-Produkt vollständig isomorph zu einer Operatoralgebra [BLM95, Thm. 6.3].