Vollständige lokale Reflexivität

Ein Operatorraum X heißt       vollständig lokal reflexiv [EJR98, §1], falls es zu jedem endlichdimensionalen Teilraum $L \subset X ^{**}$ ein Netz vollständig kontraktiver Abbildungen $\varphi_\alpha : L\rightarrow X$ gibt, das gegen die Einbettung von $L \rightarrow X^{* *}$ in der Punkt-schwach^*-Topologie konvergiert. ⁴³

Diese Eigenschaft überträgt sich auf beliebige Unterräume. Dagegen überträgt sie sich im allgemeinen nicht auf Quotienten; wird aber nach einem M-Ideal   (z.B. zweiseitiges Ideal einer C^*-Algebra) faktorisiert, so ist auch der Quotientenraum vollständig lokal reflexiv [ER94, Thm. 4.6].

Ein beliebiger Banachraum ist stets   lokal reflexiv (Prinzip der lokalen Reflexivtät [Sch70]).

Dagegen sind nicht alle Operatorräume vollständig lokal reflexiv. Etwa sind die volle C^*-Algebra der freien Gruppe mit zwei Erzeugern C^*(F₂) und $B(\ell_2)$ nicht vollständig lokal reflexiv [EH85, p. 124-125].

  Ein Operatorraum X ist genau dann vollständig lokal reflexiv, wenn eine (und damit jede) der folgenden Bedingungen für alle   endlichdimensionalen Operatorräume L erfüllt ist [EJR98, §1, 4.4, 5.8]:

1.

$L\stackrel{\scriptscriptstyle\vee}{\otimes}X^{**}\stackrel{\mathrm{cb}}{=}(L\stackrel{\scriptscriptstyle\vee}{\otimes}X)^{**}$, worin $\stackrel{\scriptscriptstyle\vee}{\otimes}$ das injektive Operatorraumtensorprodukt bezeichnet,

2.

$\mathit{CB}(L^*,X^{**})\stackrel{\mathrm{cb}}{=}\mathit{CB}(L^*,X)^{**}$,

3.

$L^*\stackrel{\scriptscriptstyle\wedge}{\otimes}X^*\stackrel{\mathrm{cb}}{=}(L\stackrel{\scriptscriptstyle\vee}{\otimes}X)^*$, worin $\stackrel{\scriptscriptstyle\wedge}{\otimes}$ das projektive Operatorraumtensorprodukt und das injektive Operatorraumtensorprodukt bezeichnen,

4.

$\mathit{CN}(X,L^*)\stackrel{\mathrm{cb}}{=}\mathit{CI}(X,L^*)$, worin $\mathit{CN}(\cdot,\cdot)$ die vollständig nuklearen und $\mathit{CI}(\cdot,\cdot)$ die vollständig integralen Abbildungen bezeichnen,

5.

$\iota(\varphi)=\iota(\varphi^*)$ für alle $\varphi\in I(X,L^*)$.

Es reicht bei den ersten drei Unterpunkten, die gewöhnliche Isometrie nachzuweisen; aus ihr folgt hier die vollständige Isometrie.