Vollständig beschränkte multilineare Abbildungen

Ausgehend vom linearen Fall läßt sich eine Theorie der vollständig beschränkten multilinearen Abbildungen entwickeln. Die Motivation hierfür liegt in erster Linie im Studium höherdimensionaler   Hochschild-Kohomologie über C^*- und von Neumann-Algebren⁴⁵ [CES87].

Wiederum treten die wichtigsten Eigenschaften vollständig beschränkter multilinearer Abbildungen in Darstellungs-, Fortsetzungs- sowie Zerlegungssätzen zutage .

Seien $X_1, \dots, X_k, Y$ Operatorräume und $\Phi: X_1 \times \dots \times X_k \rightarrow Y$ eine multilineare Abbildung. Wir definieren [CES87, p. 281] durch

$$\begin{eqnarray*}\Phi^{(n)}:M_{n}(X_1) \times \dots \times M_{n}(X_k) & \rightar... ...Phi(x_1^{l,j_1}, x_2^{j_1,j_2}, \dots, x_k^{j_{k-1},m})\right], \end{eqnarray*}$$

wobei $n\in{\mathbb{N} }$, eine multilineare Abbildung, die   n-te Amplifikation von $\Phi$.

$\Phi$ heißt   vollständig beschränkt , falls $\Vert\Phi\Vert _{{\mathrm{cb}}} := {\sup}_n \Vert\Phi^{(n)}\Vert< \infty$, und vollständig kontraktiv, falls $\Vert\Phi\Vert _{\mathrm{cb}} \le 1$. Man beachte bei dieser Definition auch den Zugang in: Vollständig beschränkte bilineare Abbildungen .

Vollständig beschränkte multilineare Abbildungen werden häufig über ihre   Linearisierungen auf dem   Haagerup-Tensorprodukt studiert. Hierbei besteht der folgende enge Zusammenhang [PS87, Prop. 1.3]; vgl. auch [SS95, Prop. 1.5.1]:

Seien $X_1, \dots, X_n$ Operatorräume und $\mathcal{H}$ ein Hilbertraum. Seien weiterhin

$$\Phi: X_1 \times \dots \times X_n \rightarrow B(\mathcal{H})$$

eine multilineare Abbildung und

$$\varphi: X_1 \otimes_h \dots \otimes_h X_n \rightarrow B(\mathcal{H})$$

die zugehörige Linearisierung. Dann ist $\Phi$vollständig beschränkt genau dann, wenn $\varphi$ es ist, und in diesem Falle gilt: $\Vert\Phi\Vert _{{\mathrm{cb}}} =\Vert\varphi\Vert _{{\mathrm{cb}}}$.

Siehe hierzu auch das Kapitel: Vollständig beschränkte bilineare Abbildungen .

    Darstellungssatz⁴⁶ [PS87, Thm. 3.2]:
Seien $A_1, \dots, A_k$ C^*-Algebren, $X_1 \subset A_1, \dots, X_k \subset A_k$ Operatorräume und $\mathcal{H}$ ein Hilbertraum. Sei ferner $\Phi: X_1 \times \dots \times X_k \rightarrow B(\mathcal{H})$ eine vollständig kontraktive multilineare Abbildung. Dann existieren Hilberträume $\mathcal{K}_i$ ( $i=1, \dots, k$), ^*-Darstellungen $\pi_i: A_i \rightarrow B(\mathcal{K}_i)$ ( $i=1, \dots, k$), Kontraktionen $T_i: \mathcal{K}_{i+1} \rightarrow\mathcal{K}_i$ ( $i=1, \dots, k-1$) sowie zwei Isometrien $V_i: \mathcal{H}\rightarrow\mathcal{K}_i$ (i = 1, k), so daß

$$\Phi(x_1, \dots, x_k) = V_1^* \pi_1(x_1) T_1 \pi_2(x_2) T_2 \cdots T_{k-1} \pi_k(x_k) V_k.$$

Nach [Yli90, p. 296], siehe das dort aufgeführte ,,Theorem``, vgl. auch [CES87], ist es möglich, auf die   ,,bridging maps`` T_i zu verzichten; man erhält folgende einfachere Form des Darstellungssatzes:

Seien $A_1, \dots, A_k$ C^*-Algebren, $X_1 \subset A_1, \dots, X_k \subset A_k$ Operatorräume und $\mathcal{H}$ ein Hilbertraum. Sei ferner

$$\Phi: X_1 \times \dots \times X_k \rightarrow B(\mathcal{H})$$

eine vollständig kontraktive multilineare Abbildung. Dann existiert ein Hilbertraum $\mathcal{K}$, ^*-Darstellungen $\pi_i: A_i \rightarrow B(\mathcal{K})$ sowie zwei Operatoren $V_1, V_k \in B(\mathcal{H}, \mathcal{K})$, so daß

$$\Phi(x_1, \dots, x_k) = V_1^* \pi_1(x_1) \pi_2(x_2) \cdots \pi_k(x_k) V_k.$$

Vgl. den linearen Fall !

Aus diesem Resultat gewinnt man den nachstehenden

    Fortsetzungssatz vgl. [PS87, Cor. 3.3], und [SS95]:
Seien $X_i \subset Y_i$ ( $i=1, \dots, k$) Operatorräume und $\mathcal{H}$ ein Hilbertraum. Sei ferner $\Phi: X_1 \times \dots X_k \rightarrow B(\mathcal{H})$ eine vollständig beschränkte multilineare Abbildung. Dann existiert eine multilineare Abbildung ${\widetilde{\Phi}}: Y_1 \times \dots \times Y_k \rightarrow B(\mathcal{H})$, welche $\Phi$ fortsetzt unter Erhaltung der cb-Norm: $\Vert\Phi \Vert _{{\mathrm{cb}}} = \Vert {\widetilde{\Phi}} \Vert _{{\mathrm{cb}}}$.

Vgl. auch den linearen Fall !

Seien nun A und B C^*-Algebren. Wir definieren [CS87, pp. 154-155] zu einer k-linearen Abbildung $\Phi: A^k \rightarrow B$ die k-lineare Abbildung $\Phi^*: A^k \rightarrow B$ durch

$$\Phi^*(a_1, \dots, a_k) := \Phi(a_k^*, \dots, a_2^*, a_1^*)^*,$$

wobei $a_1, \dots, a_k \in A$. Eine k-lineare Abbildung $\Phi: A^k \rightarrow B$ heißt     symmetrisch, falls $\Phi=\Phi^*$. Automatisch gilt dann auch ${\Phi^{(n)}}^*=\Phi^{(n)}$ ( $n\in{\mathbb{N} }$).

Eine k-lineare Abbildung $\Phi: A^k \rightarrow B$ heißt     vollständig positiv, falls

$$\Phi^{(n)} (A_1, \dots A_k) \geq 0$$

für alle $n\in{\mathbb{N} }$, $(A_1, \dots, A_k)=(A_k^*, \dots, A_1^*) \in M_n(A)^k$, wobei $A_{\frac{k+1}{2}} \geq 0$ für ungerades k.

Vorsicht: Im multilinearen Fall impliziert vollständige Positivität nicht notwendig vollständige Beschränktheit!

Im Falle von C^*-Algebren erhält man eine multilineare Verallgemeinerung des Zerlegungssatzes für vollständig beschränkte symmetrische lineare Abbildungen:

    Zerlegungssatz [CS87, Cor. 4.3]:
Seien A und B C^*-Algebren, B injektiv, und sei weiterhin

$$\Phi: A^k \rightarrow B$$

eine vollständig beschränkte symmetrische k-lineare Abbildung. Dann existieren vollständig beschränkte, vollständig positive k-lineare Abbildungen

$$\Phi_+, \Phi_-: A^k \rightarrow B \mbox{,}$$

so daß

$$\Phi = \Phi_+ - \Phi_- \mbox{\quad und \quad}\Vert\Phi\Vert _... ...rm{cb}}} = \Vert \Phi_+ + \Phi_- \Vert _{{\mathrm{cb}}}\mbox{.}$$

Vgl. auch den linearen Fall !

Für Bilinearformen auf kommutativen C^*-Algebren besteht das folgende Resultat über     automatische vollständige Beschränktheit:

Sei A eine kommutative C^*-Algebra . Dann ist jede stetige   Bilinearform $\Phi: A \times A \rightarrow{{{\mathbb{C} }}}$ automatisch vollständig beschränkt und

$$\Vert\Phi\Vert \leq \Vert\Phi\Vert _{\mathrm{cb}} \leq K_G \Vert\Phi\Vert,$$

wobei   K_G die Grothendieck-Konstante bezeichnet. Ferner ist K_G die bestmögliche solche Konstante.