Matrixextremalpunkte

Sei V ein Vektorraum. Eine matrixkonvexe Menge von Matrizen über V wird kürzer matrixkonvexe Menge in V oder, noch kürzer, m-konvexe Menge in V genannt. Sei A eine Menge von Matrizen über V. Die m-konvexe Hülle von A ist die kleinste m-konvexe Menge in V, die A umfaßt. Ihr (komponentenweiser) Abschluß ist die kleinste abgeschlossene m-konvexe Menge, die A umfaßt, weil der Abschluß von m-konvexen Mengen wieder m-konvex ist. Zwei Elemente $x,y\in M_n(V)$heißen unitär äquivalent, wenn es ein unitäres $u\in M_n$ gibt, so daß x=u^*yu gilt. Sei U(S) die Menge aller Elemente, die zu Elementen von $S\subset M_n(V)$ unitär äquivalent sind. $x\in M_n(V)$ wird  reduzibel genannt, wenn es unitär äquivalent zu einer Blockmatrix $\left[\begin{array}{cc}y& 0 \\ 0 & z \end{array}\right] \in M_n(V)$ ist. Eine m-Konvexkombination $\sum_{i=1}^{k} \alpha_i^* x_i\alpha_i$ nennt man eigentlich, wenn alle $\alpha_i$ quadratisch und ungleich 0 sind.

Sei K eine m-konvexe Menge in V. Dann heißt $x\in K_n$    strukturelles Element⁵² von K_n, wenn in allen eigentlichen m-Konvexkombinationen $x=\sum_{i=1}^{k} \alpha_i^* x_i\alpha_i$ die Elemente $x_i\in K_n$ unitär äquivalent zu x sind [Fis96]. Die Menge der strukturellen Elemente von K_n heiße str(K_n). Die Menge der strukturellen Elemente von K ist die Menge von Matrizen über V , die aus str(K_n) für alle $n\in{\mathbb{N} }$ besteht.

Beispiel:   Sei L ein Operatorsystem. Der    verallgemeinerter Zustandsraum von L ist die m-konvexe Menge CS(L) im Dual L^*, die aus den Matrixzuständen

$$\mathrm{CS}(L)_n =\{\psi\;\vert\;\psi : L\rightarrow M_n \mbox{ vollst\uml andig positiv und unital}\}.$$

besteht. Der verallgemeinerte Zustandsraum ist schwach*-kompakt. Mit [CE77, Lemma 2.2] läßt sich zeigen, daß die strukturellen Elemente von CS(L)_n genau die reinen vollständig positiven und unitalen Abbildungen in CS(L)_n sind. Ferner gibt es zu jeder kompakten und m-konvexen Menge ein Operatorsystem, dessen verallgemeinerter Zustandsraum mit dieser übereinstimmt [WW99, Prop. 3.5].

Sei V ein lokalkonvexer topologischer Vektorraum. M_n(V) werde mit der Produkttopologie ausgestattet. Der matrixkonvexe Satz von Krein-Milman lautet nun: Sei K eine kompakte m-konvexe Menge in V. Dann ist K gleich der abgeschlossenen m-konvexen Hülle der Menge der strukturellen Elemente von K. Wenn V endlichdimensional ist, kann man auf den Abschluß verzichten.

In der anderen Richtung gilt folgender Satz: Sei K eine kompakte m-konvexe Menge in V. Sei S eine abgeschlossene Menge von Matrizen über V, so daß $S_n\subset K_n$ und $v^*S_lv \subset S_m$ für alle partiellen Isometrien $v\in M_{lm}$ und für alle $n,m,l\in{\mathbb{N} }$, $l\geq m$. Wenn die abgeschlossene m-konvexe Hülle von S gleich K ist, dann liegen alle strukturellen Elemente von K in S(vgl. [WW99], [Fis96]).

Für speziellere m-konvexe Mengen lassen sich diese Ergebnisse verschärfen. Eine m-konvexe Menge K in V heiße  einfach⁵³, wenn $n\in{\mathbb{N} }$ und $A\subset M_n(V)$ existieren, so daß K gleich der m-konvexen Hülle von A ist. Für eine einfache m-konvexe Menge K gibt es $n\in{\mathbb{N} }$, so daß $\mathrm{str}(K_m)=\emptyset$ für alle m>n.

Sei K eine m-konvexe Menge in V. Für beliebige $m\in {\mathbb{N} }$ heiße $x\in K_m$ Matrix-Extremalpunkt von K, wenn $x\in\mathrm{str}(K_m)$ und

$$x\notin \cup_{m<l} {\mathbb{1} }_{lm}^* \mathrm{str}(K_l) {\mathbb{1} }_{lm}$$

gilt [Fis96]. Die Menge sei die Menge von Matrizen über V, die aus allen Matrixextremalpunkten von K besteht. Damit gilt:

Sei K eine einfache, kompakte und m-konvexe Menge in V. Dann ist K gleich der abgeschlossenen m-konvexen Hülle ihrer Matrixextremalpunkte. Ist V endlichdimensional, so gilt schärfer, K ist die m-konvexe Hülle ihrer Matrixextremalpunkte. Zusätzlich läßt sich dann zeigen: Ist S eine Menge von Matrizen über V, die keine reduziblen Elemente enthält und deren m-konvexe Hülle gleich K ist, dann gilt ${\mathrm{m\mbox{-}ext}}(K)_m\subset U(S_m)$für alle $m\in {\mathbb{N} }$ (vgl. [Mor94], [Fis96]).

Im allgemeinen kann $\mathrm{m\mbox{-}ext}(K)$ für eine m-konvexe Menge K leer sein, auch wenn K kompakt ist. Als Beispiel sei der verallgemeinerte Zustandsraum CS(A) einer C^*-Algebra A genannt. Seine Matrixextremalpunkte sind genau die endlichdimensionalen irreduziblen Darstellungen von A. Diese müssen i. a. nicht existieren.