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Formeln für das Haagerup-Tensorprodukt

1.
     Es gilt

\begin{displaymath}\mbox{$
\Vert u\Vert _h = \inf \{ \sum_{\kappa=1}^k \Vert x_...
...rt \ :
\ u = \sum_{\kappa=1}^k x_\kappa \odot y_\kappa \}$ }
\end{displaymath}

wobei $k,l \in {\mathbb{N} }$, $x_\kappa \in M_{n,l}(X)$, $y_\kappa \in M_{l,n}(Y)$ sind. Es reicht aber ein Summand [BP91, Lemma 3.2].
2.
     Für Elemente $u \in M_n(X\otimes Y)$ des algebraischen Tensorproduktes gibt es ein $l \in {\mathbb{N} }$ und Elemente $x \in M_{n,l}(X)$, $y \in M_{l,n}(Y)$, so daß

\begin{eqnarray*}u &=& x \odot y\\
\Vert u\Vert _h &=& \Vert x\Vert \Vert y\Vert
\end{eqnarray*}


gilt. Das Infimum in der Normformel ist in diesem Fall ein Minimum [ER91, Prop. 3.5].
3.
     Es gibt auch eine Supremumsformel für die Haagerup-Norm von $u \in M_n(X \otimes_h Y)$: 30

\begin{displaymath}\Vert u\Vert _h = \sup \Vert\langle u, \varphi \odot \psi \rangle\Vert _{M_{n^2}},
\end{displaymath}

wobei $l \in {\mathbb{N} }$, $\varphi \in M_{n,l}(X^ *)$, $\psi \in M_{l,n}(Y^*)$, $\Vert\varphi\Vert = \Vert\psi\Vert = 1$ [ER91, Prop. 3.4].
4.
     Aus der Definition der Haagerup-Norm folgt leicht, daß die shuffle -Abbildung  

\begin{displaymath}{\mathbb{M} }_p(X) \otimes_h {\mathbb{M} }_q(Y)
\rightarrow
{\mathbb{M} }_{pq}(X \otimes_h Y)
\end{displaymath}

vollständig kontrahierend ist. Das Haagerup-Tensorprodukt hat also die Eigenschaft 2 eines Operatorraum-Tensorproduktes.

Die shuffle-Abbildung ist aber im allgemeinen keine Isometrie, wie das folgende Beispiel zeigt:31

\begin{displaymath}{\mathbb{M} }_n(C_l) \otimes_h {\mathbb{M} }_n(R_l) \stackrel...
...hrm{cb}}{=}{\mathbb{M} }_n({\mathbb{M} }_n(C_l \otimes R_l)).
\end{displaymath}

Da die bilineare Abbildung

\begin{eqnarray*}\otimes_h : \mathit{CB}(X_1,X_2) \times \mathit{CB}(Y_1,Y_2)
&...
...es_h X_2, Y_1 \otimes _h Y_2)\\
(S,T) &\mapsto& S \otimes_h T
\end{eqnarray*}


kontrahierend ist, ist sie allgemein vollständig kontrahierend.32

Sie ist aber nach 7 sogar vollständig kontrahierend.

5.
       Im Falle von Spalten und Zeilen ist die shuffle -Abbildung sogar eine vollständige Isometrie. Es gilt das Lemma von Blecher und Paulsen [BP91, Prop. 3.5]:

\begin{displaymath}C_n(X) \otimes_h R_n(Y) \stackrel{\mathrm{cb}}{=}{\mathbb{M} }_n(X \otimes_h Y).
\end{displaymath}

Häufig reicht es, eine Beziehung für das Haagerup-Tensorprodukt auf der Grundstufe nachzuweisen und sie dann mit Hilfe der obigen Formel für alle Matrizenstufen zu folgern33.

Spezialfälle des Lemmas von Blecher und Paulsen sind:

\begin{eqnarray*}C_n \otimes_h R_n &\stackrel{\mathrm{cb}}{=}& {\mathbb{M} }_n,\...
...s_h R_n &\stackrel{\mathrm{cb}}{=}& {\mathbb{M} }_n(X) \mbox{.}
\end{eqnarray*}


6.
       Im Gegensatz zu 5 erhält man für $R_n \otimes_h C_n$ die feinere Operatorraumstruktur der Spurklasse

\begin{displaymath}T_n := {\mathbb{M} }_n^* \stackrel{\mathrm{cb}}{=}R_n \stackr...
...\otimes}C_n \stackrel{\mathrm{cb}}{=}R_n \otimes_h C_n \mbox{.}\end{displaymath}

Für einen Operatorraum X gilt [Ble92b, Prop. 2.3]:

\begin{eqnarray*}R_n \otimes_h X &\stackrel{\mathrm{cb}}{=}& R_n \stackrel{\scri...
...h C_n &\stackrel{\mathrm{cb}}{=}& {\mathbb{M} }_n(X)^* \mbox{.}
\end{eqnarray*}


7.
     Nach Konstruktion ist die bilineare Abbildung $X \times Y \rightarrow X \otimes_h Y$, $ (x,y) \mapsto x \otimes y$ vollständig kontrahierend.

Also ist auch ihre Amplifikation, das tensorielle Matrixprodukt

\begin{eqnarray*}\odot_h: {\mathbb{M} }_{n,l}(X) \times {\mathbb{M} }_{l,n}(Y) &...
...b{M} }_n(X \otimes_h Y)\\
(x, y) &\mapsto& x \odot y \mbox{,}
\end{eqnarray*}


vollständig kontrahierend . Die Linearisierung des tensoriellen Matrixprodukts ergibt die vollständige Kontraktion

\begin{displaymath}{\mathbb{M} }_{n,l}(X) \otimes_h {\mathbb{M} }_{l,n}(Y) \rightarrow {\mathbb{M} }_n(X \otimes_h Y)\mbox{.}
\end{displaymath}

8.
     Die bilineare Abbildung

\begin{eqnarray*}\otimes_h : \mathit{CB}(X_1,X_2) \times \mathit{CB}(Y_1,Y_2)
...
...Y_1, X_2 \otimes_h Y_2)
\\
(S,T)
&\mapsto&
S \otimes_h T
\end{eqnarray*}


ist vollständig kontrahierend .34 35 und erzeugt eine vollständige Kontraktion

\begin{displaymath}\mathit{CB}(X_1,X_2) \otimes_h \mathit{CB}(Y_1,Y_2)
\rightarrow
\mathit{CB}(X_1 \otimes_h Y_1, X_2 \otimes_h Y_2).
\end{displaymath}

9.
       Es seien $\mathcal{H}, \mathcal{K}$ Hilberträume. Für den Spalten-Hilbertraum ${\mathcal{C}}$ und den Zeilen-Hilbertraum ${\mathcal{R}}$ erhält man als Haagerup-Tensorprodukt vollständig isometrisch den Raum der kompakten Operatoren K bzw. der Spurklasse-Operatoren36 Operatoren T [ER91, Cor. 4.4]:


\begin{eqnarray*}{\mathcal{R}}_{\overline{\mathcal{H}}} \otimes_h {\mathcal{C}}_...
...l{H}}} &\stackrel{\mathrm{cb}}{=}& K({\mathcal{H},\mathcal{K}}).
\end{eqnarray*}


Das  Beispiel zeigt auch, daß das Haagerup-Tensorprodukt nicht symmetrisch ist.

             


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Lehrstuhl Prof. Dr. Gerd Wittstock
1999-09-04