Prof. Dr. Roland Speicher

Tobias Mai

Carlos Vargas Obieta

Zufallsmatrizen und freie Entropie

weiterführende Vorlesung im Bereich Funktionalanalysis und Wahrscheinlichkeitstheorie

(Wintersemester 2013/2014)

Aktuelles

Vorlesung

Di 12-14 und Do 10-12, in HS IV, Geb. E2 4


Eines der großen ungelösten Probleme in der Theorie der von-Neumann-Algebren, die in den
1930er und 1940er Jahren von John von Neumann und Francis Murray begründet wurde, besteht
darin, zu entscheiden, ob die Gruppen-von-Neumann-Algebren L(Fn) zu den freien Gruppen Fn
mit n≥2 paarweise isomorph sind oder nicht.
Als vielversprechendes Werkzeug zur Behandlung dieses Problems entwickelte Dan-Virgil Voiculescu
um 1986 die freie Wahrscheinlichkeitstheorie, die als nicht-kommutatives Analogon zur klassischen
Wahrscheinlichkeitstheorie gesehen werden kann.
Motiviert durch die weitreichenden Analogien zwischen klassischer und freier Wahrscheinlichkeitstheorie
und mit der Absicht, neue Invarianten für von-Neumann-Algebren zu finden, führte Voiculescu als freies
Gegenstück zur Shannon-Entropie und inspiriert durch die aus der Physik bekannte Boltzmann-Formel
S = kB log(W) die sogenannte freie Entropie ein. Die Schlagkraft der hierdurch geschaffenen Konzepte
demonstrierte er später eindrucksvoll durch den Beweis der lange offenen Vermutung, dass L(Fn) keine
Cartan-Unteralgebren besitzen kann.
Überraschenderweise stellte sich im Laufe der Zeit heraus, dass die freie Wahrscheinlichkeitstheorie
darüber hinaus auch tiefliegende Beziehungen zur Theorie der Zufallsmatrizen hat. Dort stellt sie
inzwischen effektive Hilfsmittel zur Berechnung asymptotischer Eigenwertverteilungen zur Verfügung,
und die freie Entropie spielt auch dort eine wichtige Rolle.

Im Rahmen dieser Vorlesung werden wir uns mit den Beziehungen zwischen der Theorie der
von-Neumann-Algebren, der freien Wahrscheinlichkeitstheorie und der Theorie der Zufallsmatrizen
beschäftigen und dabei speziell die freie Entropie näher beleuchten.

Die Vorlesung richtet sich an Studenten der Mathematik oder Physik mit guten Kenntnissen in der
linearen Algebra und der Analysis. Grundkenntnisse in der Funktionalanalysis sind hilfreich, diese
Vorlesung kann aber auch parallel besucht werden. Kenntnisse über von-Neumann-Algebren oder
Zufallsmatrizen werden nicht vorausgesetzt, sondern werden bei Bedarf bereitgestellt werden.

Ankündigung

Kommentiertes Vorlesungsverzeichnis WS 13/14

Es können auch Bachelor- oder Masterarbeiten im Anschluss an die Vorlesung vergeben werden.

Fragen zur Vorlesung können gerne an Tobias Mai gerichtet werden.

Übungen

Do, 12-14, im SR 4.18, Geb. E2 6 (Physik)

Die Übungen werden von Carlos Vargas geleitet.

Blatt 1   (Grundwissen über Cauchy- und Hilbert-Transformierten)
Blatt 2
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Blatt 6
Blatt 7
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Blatt 9
Blatt 10
Blatt 11

Literatur

Zu dieser Vorlesung wurde in der Campusbibliothek für Informatik und Mathematik (Geb. E2 3)
ein Semesterapparat eingerichtet. Eine Übersicht findet sich hier.


Aktualisiert am: 4. Februar 2014   Tobias Mai Impressum