Leider werden diese für unseren Unterricht wichtigen Kommunikationsebenen aber häufig in der unterrichtsrelevanten Literatur nur recht oberflächlich betrachtet. Überspitzt formuliert: „Enaktiv“ ist, wenn die Kinder spielen oder basteln, „ikonisch“ ist, wenn gezeichnet wird, und „symbolisch“ ist, wenn dann (endlich) mit Zahlen oder gar mit Variablen gerechnet wird. Diese Verkürzung ist wenig hilfreich, denn sie verspielt das große Potential, das in der Unterscheidung von ikonischen und symbolischen Zeichen liegt.

Von Zeichen zu Symbolen

Ein verwendetes Zeichen ist nicht von sich aus ikonisch oder symbolisch. Vielmehr ist dies eine Eigenschaft, die es erst durch seinen Betrachter bekommt. Erkennt dieser mögliche mit dem Zeichen verbundene Regeln und kann sie erfolgreich anwenden, so hat er dessen Symbolgehalt erfasst. Dies ist typisch für formal-algebraische Zeichen, daher werden diese gerne fälschlich mit symbolischen Zeichen (im Folgenden kurz: Symbole) identifiziert. Doch es gibt auch weitere relevante Symbole, nämlich die konstruktiv-geometrischen und die verbal-begrifflichen. Wesentlich für die Eigenschaft symbolisch ist das Vorhandensein von anwendbaren Spielregeln für den Umgang mit diesen Zeichen. Im Falle konstruktiv-geometrischer Symbole sind dies z. B. geo­­metrische Grundprinzipien, Konstruktionsregeln und Schlussfolgerungen. Im Falle verbal-begrifflicher Symbole sind dies z. B. die Regeln der gesprochenen bzw. geschriebenen Sprache und begriffliche Zusammenhänge. Häufig werden konstruktiv-geometrische und verbal-begriff­liche Symbole gemeinsam verwendet.

Die symbolische mathematische Sprache hat also drei Sprachformen, neben der formal-algebraischen noch die konstruktiv-geometrische und die verbal-begriffliche.  

Leitidee Messen

Erstes Beispiel Du siehst hier eine Karte eines Grundstücks. Das Grundstück hat einen Flächeninhalt von 1200 m². Wie groß ist sein Umfang?

Wie können wir hier nun symbolisch argumentieren, also gemäß mathematischer Regelhaftigkeiten, und zwar ohne formal-algebraische Darstellungen?

Die zentrale Idee ist, dass wir uns auf das Grundprinzip des Messens stützen. Messen heißt, aufs Wesentliche reduziert: Wir legen Einheiten fest und bestimmen Vielfache (bzw. Anteile) davon; argumentieren können wir dann i. d. R. über Ergänzungs- und Zerlegungsgleichheit, also durch einfache Addition und Subtraktion von (Teil-)Flächen(inhalten).

Zweites Beispiel Welchen Anteil hat das eingezeichnete Dreieck am ganzen Quadrat, wenn die Eckpunkte des Dreiecks auf den Seiten des Quadrats diese im Verhältnis eins zu zwei teilen?

Durch das vorgegebene Teilverhältnis auf den Seiten werden uns Einheiten im Quadrat bereits nahegelegt (Abbildung 1).

Abbildung 1 Geeignete Einheiten zum bewussten Messen im Rahmen einer konstruktiv-geometrischen Argumentation.

Messen bedeutet ja, Vielfache von Einheiten zu bestimmen: Bezüglich der gewählten Einheiten hat das Quadrat den Inhalt neun. Das eingezeichnete Dreieck lässt sich in zwei rechtwinklige Teildreiecke zerlegen; das obere ist die Hälfte eines Rechtecks mit einem Flächeninhalt von zwei Einheiten, das untere die Hälfte eines Quadrats mit einem Flächeninhalt von vier Einheiten. Die Teildreiecke haben also die Flächeninhalte eins und zwei und zusammen damit den Flächeninhalt drei. Der Anteil des Dreiecks am Quadrat ist daher drei von neun Einheiten, also ein Drittel. Alternativ könnten wir dem ganzen Quadrat den Inhalt eins zuordnen und das Dreieck mit dem Stammbruch ein Neuntel als so gegebener Einheit vermessen, um zum gleichen Resultat zu gelangen.

Statt uns auf Formeln und Rechnungen zu stützen, haben wir hier erfolgreich mit Worten geometrisch argumentiert, nachdem wir eine geeignete Zerlegung (hinein-)gesehen hatten. Dies ist bereits in Klassenstufe 5/6 möglich und bereitet die weiteren Dreiecksberechnungen in Klassenstufe 7/8 (s. u.) sehr gut vor, insbesondere den Faktor ein Halb darin. Darüber hinaus leistet dieser Zugang einen Beitrag zum Erwerb von Grundvorstellungen von Brüchen und insbesondere Stammbrüchen.

Enaktive Darstellungen

Geeignete Zerlegungen sehen lernen können unsere Schülerinnen und Schüler am Geobrett durch konkrete Handlungen, die den notwendigen gedanklichen Operationen stimmig entsprechen.

Abbildung 2 Enaktive Situierung des zweiten Beispiels auf dem Geobrett

In unserem zweiten Beispiel können wir mit einem Rahmengummi ein Quadrat spannen, dessen Seiten im Verhältnis eins zu zwei teilbar sind. In dieses spannen wir dann das Dreieck mit den gegebenen Eigenschaften.

Wenn wir als Einheit ein durch vier benachbarte Stifte gegebenes Teilquadrat festlegen, können wir ganz analog zu oben argumentieren – und so durch diese passende konkrete Handlung entsprechend abstrahierte konstruktiv-geometrische Be­grün­dungen grundlegen.

Unsere Aufgabe als Lehrperson ist es also, passende Situationen zur Verfügung zu stellen, damit die Lernenden über Handlungen zu mathematischen Einsichten gelangen (vgl. Abbildung 3).

Abbildung 3  Die Vermittlung von mathematischen Vorstellungen erfolgt über unterschiedliche Darstellungsebenen, d. h. über Handlungen an konkreten Objekten, dann über diese abbildende Zeichen und schließlich über daraus abstrahierte Symbole mit ihren spezifischen Operationen.

Wesentlich ist dazu, dass die Handlung stimmig zum Inhalt passt, was im zweiten Beispiel durch das dazu geeignete Spannen eines Rahmengummis sichergestellt wurde. Ein typisches unstimmiges Beispiel ist das folgende häufig zu findende zur Winkelsumme im Dreieck.

Unstimmiges Beispiel Reiße die drei Ecken eines Papierdreiecks ab und lege sie aneinander. Was stellst du fest?

Abbildung 4 „Die Winkelsumme im Dreieck beträgt 180°“ ist zu sehen, die Handlung liefert so aber keine Begründung.

Es ist einfach zu sehen, dass sich stets ein gestreckter Winkel ergibt, also die Innenwinkelsumme im (ebenen) Dreieck 180° beträgt. Aber diese Handlung führt leider nicht zur üblicherweise gewünschten konstruktiv-geometrischen symbolischen Begründung. Doch die Idee des Abreißens lässt sich hier retten.

Stimmiges Beispiel Reiße zwei Ecken eines Papierdreiecks ab und lege sie an die Dritte. Was stellst du fest? Begründe!

Abbildung 5 „Die Winkelsumme im Dreieck beträgt 180°“ ist aus dieser Handlung heraus begründbar.

In dieser Situation bleibt die zur Begründung notwendige Parallele erhalten und ermöglicht einen Weg zum Beweis.

Abbildung 6 Konstruktiv-geometrische symbolische Begründung zu „Die Winkelsumme im Dreieck beträgt 180°“ durch „Wechselwinkel an Parallelen sind gleich groß“.

Dreiecksflächeninhalt erkunden

„Die Inhalte zweier Dreiecke sind bei gleicher Grundseitenlänge und gleicher Höhe gleich.“ – Dies können Lernende in der folgenden mit einem offenen Ende formulierten Situation selbst entdecken.

Drittes Beispiel Spanne auf dem Geobrett möglichst viele Dreiecke mit dem gleichen Flächeninhalt. Was beobachtest du?

Auch hier tragen uns wieder die Idee des Messens und das Geobrett als enaktives Problemlösewerkzeug. Als Einheit legen wir erneut ein durch vier benachbarte Punkte bzw. Stifte gegebenes Teilquadrat fest. Die eigene Entdeckung wird forciert durch die Heuristik „Halte beim systematischen Probieren jeweils ein Ausgangsobjekt fest, und suche dabei Gemeinsamkeiten der so variierten Objekte“. Und das ist hier erfreulich einfach. Wenn wir ein Dreieck durch Ändern eines einzigen Eckpunktes modifizieren, bleibt die Grundseite automatisch gleich.

Abbildung 7 Die Aussage „Dreiecke mit gleicher Grundseite und gleicher Höhe sind inhaltsgleich“ lässt sich durch Messen auf dem Geobrett entdecken.

Die Schülerinnen und Schüler können so leicht beobachten, dass die weiteren Dreiecke bei gleichem Inhalt auch gleiche Höhe haben.

Auch falls Sie die genannte Heuristik binnendifferenzierend außen vor lassen möchten, können Sie in diesem Beispiel die Idee Messen nutzen:

Drittes Beispiel (enger geführt) Die Inhalte zweier Dreiecke sind bei gleicher Grundseitenlänge und gleicher Höhe gleich. Finde Beispiele auf dem Geobrett.

So generieren die Lernenden zumindest  ihre konkreten Übungsaufgaben selbst – im Gegensatz zu dem ganz engen „Bestimme die Flächeninhalte der folgenden Dreiecke: …“.

Dreiecksflächeninhaltsformel begründen

Aber auch noch so viele selbstgefundene Beispiele sind noch keine schlüssige Begründung. Doch der Schritt zu einer Begründung der Formel für den Flächeninhalt eines Dreiecks ist nun nicht mehr weit. Dazu betrachten wir Dreiecke gleicher Grundseitenlänge und gleicher Höhe. Wenn wir diese parallel zur Grundseite schneiden, sind die Schnittstrecken (nach dem Strahlensatz) jeweils gleich lang.

Abbildung 8 Das Prinzip von Cavalieri in der Ebene: Zwei Flächen besitzen denselben Inhalt, wenn all ihre Schnitte parallel zu einer Grundkante in entsprechenden Abständen die gleiche Länge haben. Damit ist jedes Dreieck inhaltsgleich zu dem rechtwinkligen Dreieck gleicher Grundseitenlänge und Höhe.

Damit sind nach dem Prinzip von Cavalieri auch ihre Flächeninhalte gleich und insbesondere gleich dem Flächeninhalt des rechtwinkligen Dreiecks mit der gegebenen Höhe und Grundseitenlänge. Diesen können wir als halben Rechteckflächeninhalt leicht bestimmen:

A = ½   g   h.

Anteile und Brüche untersuchen

Abbildung 9  „Welchen Anteil hat jeweils die Figur am Quadrat? Suche stets mehrere Begründungen.“ Diese Aufgabe lässt sich gut mit dem Geobrett bearbeiten. Dabei können die Einheiten flexibel gewählt werden: Der Anteil der ersten Figur am Quadrat ist ein Viertel, die Dreiecke in der dritten Figur sind halb so groß, also jeweils ein Achtel, …

Die Idee der Anteilsbestimmung aus unserem zweiten Beispiel können wir gut variieren, um den Erwerb von Vorstellungen von Bruchteilen zu unterstützen – insbesondere den der Grundvorstellung von Stammbrüchen, mit denen wir andere Brüche messen. Dabei ist es sinnvoll, als Ganzes unterschiedliche Anteile des Geobretts zu verwenden, damit die Teilquadrate des Geobretts (oder deren dreieckige Hälften), welche die Einheiten darstellen, für unterschiedliche Stammbrüche stehen können. Das volle Geobrett liefert 1/16, das eingeschränkte Quadrat aus Abbildung 2 dagegen 1/9 als quadratische Messeinheit. Durch rahmende Rechtecke können wir leicht 1/12 oder 1/8 erhalten. Oder wir wählen andere quadratische oder dreieckige Einheiten (Abbildung 9 und 10). Und natürlich sind auch rechteckige Einheiten möglich.

Abbildung 10 Einheiten müssen nicht quadratisch sein, auch Dreiecke können wir als Einheit wählen: Der Inhalt des kleinen Dreiecks beträgt ein Achtzehntel des Inhalts des Quadrats. Damit können wir die umspannte Teilfigur mit dem Stammbruch 1/18 messen: Ihr Inhalt beträgt 5/18, da unser Messdreieck fünfmal hineinpasst.

Satz des Thales entdecken – samt Umkehrung

Der Satz des Thales handelt von rechten Winkeln im Kreis. Das Spannende an ihm ist aber, dass hier sowohl eine Aussage als auch ihre Umkehrung wahr sind – denn dies ist ja im Alltag nicht immer so: Aus „In der Nacht ist es dunkel“ folgt ja nicht notwendig „Es ist dunkel, also ist es Nacht“ – denn ich könnte auch im Dunkeln stehen, weil in meinem Keller das Licht ausgefallen ist.

Die Lernenden können beim Satz des Thales leicht in den Blick bekommen, dass es dort wahre Aussage und Umkehrung gibt: Dazu bieten wir diese in zwei unterschiedlichen – jeweils stimmig passenden – Situationen an.

Viertes Beispiel (1. Situation) Spanne mit einem Gummi einen Durchmesser des Kreises auf dem Geobrett. Forme mit dem Gummi nun unterschiedliche Dreiecke, so dass aber immer der gewählte Durchmesser eine Seite des Dreiecks bildet. Welche Eigenschaft haben alle diese Dreiecke gemeinsam?

Abbildung 11 Der Satz des Thales: Der Winkel im (Halb-)Kreis ist ein rechter – hier ist enaktiv der Kreis gegeben, und die rechten Winkel folgen.

In dieser Situation ist zunächst der Kreis da, und die rechten Winkel entstehen nach und nach an den Kreispunkten. In der nächsten Situation steht umgekehrt der rechte Winkel am Anfang, und die Kreispunkte werden nach und nach determiniert.

Viertes Beispiel (2. Situation) Zeichne eine Strecke auf ein Blatt Papier und schneide entlang dieser Strecke einen Spalt in das Papier. Schiebe den rechten Winkel deines Geodreiecks in unterschiedlichen Richtungen so weit wie möglich durch diesen Spalt und markiere jeweils die Position seines Scheitels. Auf welcher Kurve liegen die Scheitelpunkte?

Abbildung 12 Die Umkehrung des Satz des Thales: Die Eckpunkte gegenüber der Hypotenuse von rechtwinkligen Dreiecken mit gemeinsamer Hypotenuse liegen alle auf einem gemeinsamen (Halb-)Kreis – hier ist enaktiv der rechte Winkel gegeben, und der Kreis folgt.

Diese enaktive Idee für die Umkehrung findet sich bereits in Schulbüchern aus den 1920er Jahren, ebenso wie die folgende.

Funktion in geometrischem Gewand erleben

Blicke in Schulbücher aus den 1920er Jahren lohnen (fast) immer! Damals wurden funktionale Zusammenhänge erstmals ins Zentrum des Mathematikunterrichts gestellt, und vieles wurde in geometrischen Situationen untersucht. Und die Selbsttätigkeit spielte bereits eine große Rolle.

Abbildung 13 „Funktionen am Kreis“ aus einem Unterrichtswerk von Reinhard und Zeisberg von 1922

Fünftes Beispiel Wähle dir einen Punkt auf einer Kreislinie. Teile die Kreislinie von dort aus in zwölf gleiche Teile. Beschrifte die teilenden Punkte mit den zugehörigen Winkeln: 0°, 30°, 60°, …, 330°, 360°. Verbinde diese Punkte durch Strecken, den sogenannten Sehnen, mit deinem Ausgangspunkt. Trage die Längen s der Sehnen in Anhängigkeit vom Winkel α in eine Tabelle ein. Zeichne den zugehörigen Graphen.

Eine passende Aufteilung findet sich auf der Rückseite des Geobretts, wir nutzen sie zur Untersuchung der Situation.

Abbildung 14 Die Sehnenlängen im Kreis in Abhängigkeit von der Bogenlänge lassen sich gut auf dem Geobrett darstellen.

In Klassenstufe 7/8 haben wir so ein schönes Beispiel für eine Funktion, deren Werte wir empirisch ermitteln und die wir verbal-begrifflich, qualitativ beschreiben können: Die symmetrische Funktion wächst zunächst immer langsamer bis zu ihrem Maximum und fällt von dort, immer schneller. In Klassenstufe 9/10 können wir den Graphen dann auch formal-algebraisch beschreiben:

s(α) = 2 sin (α/2)

Die Aufgabe lässt sich auf dem Geobrett leicht variieren, indem wir statt des Kreises ein Quadrat oder ein Rechteck als Rahmen nehmen. Dann kommen der Satz des Pythagoras und Wurzeln ins Spiel. Und wenn Sie ein Dreieck als Rahmen nehmen? Untersuchen Sie es doch einfach mal selbst mit dem Geobrett.

Version: 27.06.2019