Sammelbilder würfeln – manchmal dauert’s länger als man denkt

Kopiervorlage für den Unterricht (PDF-Datei)

Ausgangssituation

Zur Fußball WM 2014 in Brasilien wurde ein Sammelalbum für 640 Sammelbilder auf den Markt gebracht. Wie üblich sind die zu kaufenden Bilder in undurchsichtigen Tüten verpackt – zu je 5 Bilder pro Päckchen, ein Päckchen kostet einzeln 60 Cent. Wie viele Päckchen muss man wohl kaufen, bis das Album voll ist? Diese Situation lässt sich erfreulich gut für den Unterricht in der Sekundarstufe I didaktisch reduzieren.

Vergleichbare Situation – kleinere Zahlen – kostenlose Bilder

Zur WM 14 wird ein Sammelalbum für 6 Sammelbilder auf den Markt gebracht. Wie üblich sind die Bilder in undurchsichtigen Tüten verpackt – zu je 2 Bilder pro Päckchen.Wie viele Päckchen muss man wohl kaufen, bis das Album voll ist? Um die Frage beantworten, kann man nun durch Würfelzahlen simulierte Bilder zählen. Der Inhalt eines Päckchens wird durch den Wurf zweier Würfel simuliert. Die beiden Würfelzahlen stehen dann für zwei Bildernummern. In der Tabelle wird  jeweils ein Strich für jede gewürfelte Nummer gemacht – „bis das Album voll ist“. Dann wird zusammengezählt, wie viele Bilder bzw. Päckchen bis zum Erfolg insgesamt gebraucht wurden. Dies macht zunächst jeder für sich (oder in Partnerarbeit).

Um mehr Daten zu haben und ein Gefühl für mögliche zufällige Schwankungen zu bekommen, wird die Simulation fünfmal ausgeführt. Danach werde die Ergebnisse in der Klasse ausgetauscht und in einer gemensamen Statistik zusammengefasst. Wie viele Päckchen wurden im Mittel benötigt?

Was kann man aus dem Würfeln lernen?

Bei einer Klasse mit 25 Schülern kommen 125 Daten zusammen, deren Verteilung wie in den folgenden Diagrammen aussehen kann. Es sind dort jeweils die aufgetretenen Häufigkeiten (senkrechte Achse) der Anzahlen der benötigten Päckchen (waagerechte Achse) dargestellt. Im ersten Schaubild sieht man z.B. dass in dieser Klasse zehnmal der Fall auftrat, dass neun Päckchen benötigt wurden und es zwei Glückspilzfälle gab, in denen schon mit drei Päckchen Erfolg verzeichnet wurde, sowie einen Pechvogel, der einmal 26 Päckchen brauchte. Das zweite Schaubild sieht ganz ähnlich aus.

Im Mittel benötigt man 7 bis 8 Päckchen. Wegen der geringen Anzahl der Versuche gibt es zwar schon beobachtbare Gemeinsamkeiten, aber ebenso noch beobachtbare Schwankungen. Das macht gerade den Reiz des Zufalls aus.

Zurück zum Sammelbildproblem

Die gemachten Erfahrungen lassen sich systematisieren. Dazu werden sie zunächst übersichtlich dargestellt. Die Bilder wurden nacheinander (zufällig) aus dem Päckchen genommen, daher wird im Folgenden - vereinfachend modellierend - nur noch die Anzahl der Bilder betrachtet und dann die Anzahl der Päckchen bestimmt. Zu Beginn waren alle Plätze frei und es wurde nur ein Bild benötigt, um sicher einen freien Platz zu finden, d.h. um einen Treffer zu landen. Der Erwartungswert für die Anzahl der benötigten Bilder ist damit in diesem Schritt 1. Im nächsten Schritt ist nun bereits ein Platz besetzt und es gibt fünf Möglichkeiten für einen Treffer, aber auch eine für eine Niete. Im Verhältnis zur Anzahl der Treffer muss damit ein Nietenzuschlag von ein Fünftel, also 20% berücksichtigt werden. Das bedeutet, dass zu erwarten ist, dass im Mittel statt 1 nun 1,2 zufällige Bilder benötigt werden, um den nächsten Platz zu füllen. Sind dann zwei Plätze besetzt, also noch vier Möglichkeiten für einen Treffer und zwei für eine Niete gegeben, beträgt der Nietenzuschlag 50%, also der Erwartungswert für die Anzahl der benötigten Bilder 1,5 … Diese Überlegungen lassen sich Schritt für Schritt fortführen – „bis das Album voll ist“. Zusammengefasst sieht das Füllen des Albums mathematisch dann so aus:

Das Addieren der Erwartungswerte für die einzelnen Schritte ergibt den Erwartungswert für die Gesamtanzahl der Bilder: 1 + 1,2 + 1,5 + 2 + 3 + 6 = 14,7. Das 14,7-te Bild wird dabei dem achten Päckchen entnommen. Zufall führt zu Abweichungen und damit faktisch zur beobachtbaren Bandbreite von Resultaten des Experiments.

Wie lässt sich dieses Wissen auf das Album mit 639 Sammelbildern übertragen? Dazu lässt sich aus dem betrachteten Spezialfall das allgemeine Muster herauslesen! Es ist hilfreich, die Darstellung der Zahlen zu wechseln, um mehr sehen zu können. Motiviert durch das Wissen, dass die Zahl 6 beim Würfeln eine besondere Rolle spielt, kann man die auftretenden Erwartungswerte als Brüche darstellen, in denen die Zahl 6 vorkommt:

Aus dieser Summe lässt sich die Zahl 6 ausklammern und die Summe der 6 ersten Stammbrüche erscheint.

Damit liegt die Einsicht nah, dass, wenn die Sammelbilderanzahl 640 beträgt, die Anzahl der im Mittel benötigten Bilder berechnen werden kann durch 640 mal die Summe der 640 ersten sog. Stammbrüche, d.h. der Brüche mit Zähler 1:

was 4505.257528 ... liefert – und  4505 Bilder, also 901 Päckchen bedeutet. Bei einem Einzelpreis von 0,60 € pro Päckchen summieren sich die Kosten somit insgesamt auf 540,60 € - nach diesem etwas vereinfachten Modell.

Es wäre natürlich äußerst mühsam diese längliche Rechnung selbst mit einem Taschenrechner auszuführen. Wenn man kein geeignetes Computerprogramm (z.B. eine Tabellkalkulation) zur Verfügung hat, kann man sich auch mit einer passenden Näherungslösung helfen: Die Stammbruchsumme der n ersten Stammbrüche hat für große n ungefähr den Wert ln(n)+c, worin ln für den natürlichen Logarithmus steht und c für die Euler-Mascheroni-Konstante, die (in Taschenrechnergenauigkeit) den Wert 0,577215665 hat. Für n=639 erhalten wir so mit dem Taschenrechner

640 × ( ln(640) + 0,57721566490 ) = 4504.757658.

Und wenn es beim nächsten von Sammelbildern begleiteten Großereignis 1000 unterschiedliche Bilder für Sammelwütige gäbe, dann müssten diese im Mittel 1000 × ( ln(1000) + 0,57721566490 ), also 7485 Bilder in 1497 Päckchen kaufen.

ca. 900 Päckchen - mal weniger, mal mehr

Im Mittel erwartet man also - nach der hier vorgenommenen Modellierung - ca. 900 notwendige Päckchen bei 640 unterschiedlichen Sammelbildern. Aber Zufall führt bekanntlich zu Abweichungen. Die folgende Abbildung zeigt das Ergebnis einer Computersimulation von 10000 Sammlern, die ihr Album gefüllt haben oder bei 1250 Päckchen - also 750 € - frustriert aufgegeben haben - im Mittel wurden 895 Päckchen benötigt:

Es gab in dieser Simulation verschwindend wenige Glückspillze, die weniger als 550 Päckchen und immer noch kaum welche, die weniger als 600 Päckchen benötigt haben - was aber immerhin schon 360 € bedeutet - und andererseits ca. 700 Pechvögel, die Trotz des Einsatzes von 750 € ihr Album noch nicht voll haben. Natürlich senkt tauschen die Kosten, aber selbst im allergünstigeten Fall des perfekten Tauschens kommt man nicht unter 76.80 € - reicht dafür das Taschengeld?   

Mehr dazu

Eine detailliertere mathematische Diskussion des Problems, welche die Päckchen explizit mitbetrachtet, aber für Sekundarstufe I ungeeignet ist, findet sich z.B. im Abschnitt 23.6 Das Sammlerproblem in (Henze 2013) und liefert die Formel

für den Erwartungswert, worin n die Anzahl der unterschiedlichen Bilder, p die Anzahl der Bilder pro Päckchen ist und a die kleinste natürliche Zahl ist, die größer ist als n/s. Dieses exakte Modell liefert einen Erwartungswert von 898.63130572 ... Päckchen. Da ist dann doch das schulmathematisch mögliche Modell schon sehr dicht dran.

Literatur

Norbert Henze: Stochastik für Einsteiger - Eine Einführung in die faszinierende Welt des Zufalls. Springer Spektrum, 10. Auflage, 2013

Autor: Anselm Lambert