40. Tagung des GDM-Arbeitskreises Geometrie 2024

Saarbrücken, 13.-15. September 2024

Geometrisierung: Vom Phänomen zur Mathematik, vom Raum in die Ebene und zurück

Einladung

Liebe Freundinnen und Freunde der Geometrie,

hiermit laden wir Sie zur 40. Herbsttagung des Arbeitskreises Geometrie vom 13.09.2024 - 15.09.2024 in Saarbrücken ein.

Auf der letzten Tagung haben wir beschlossen, dass unser Tagungsthema die (Re-)Geometrisierung der Schulgeometrie sein soll.

Geometrische Zugänge sind anschaulich. Sie ermöglichen das Erfassen mathematischer Fragestellungen mit wenigen oder sogar ohne Worte, z. B. durch sinnliche Erfahrung von Phänomen und Mustererkennung in Bilderfolgen. Bei der großen Heterogenität des Sprachverständnisses im heutigen Klassenzimmer gewinnt dieser Aspekt an Bedeutung.

Anhand vieler Beispiele diskutieren wir, wie Schulinhalte, für welche heute algebraische, arithmetische oder analytische Darstellungen dominieren, geometrisch „unterfüttert“ werden können und damit einer größeren Gruppe von Schülerinnen und Schülern zugänglich gemacht werden können. Dabei wird die Raumanschauung einen Schwerpunkt bilden, wobei auch Werkzeuge wie CAD-Systeme und 3D-Druck eine Rolle spielen.

Andreas Filler und Anselm Lambert (Sprecher des AK Geometrie in der GDM)

Impulsvortrag - Freitag 19:15-20:15 Uhr

Anselm Lambert (Re-)Geometrisierung der Schulgeometrie - konstruktiv-geometrisch argumentieren (auch außerhalb der Geometrie)

Angemeldete Vorträge für Samstag und Sonntag (alphabetisch) - zum Zeitplan

Stephan Berendonk  Ein Haus der Vierecke als Ausgangspunkt mathematischer Erkundungen
(Vortrag gemeinsam mit Peter Kaiser. Daniel Dieser ist Mitautor des Vortrags, nimmt aber nicht an der Tagung teil.)
Ausgehend von der Idee der merkmalsorientierten Konstruktion eines Hauses der Vierecke errichten wir mehrere solcher Häuser. Vor dem Hintergrund der Erfahrung des Erfindens und Entdeckens dieser Häuser analyiseren wir die Struktur der Häuser und die Beziehungen der Häuser untereinander. Wir werden durch diesen Prozess erleben, dass die Merkmalsorientierung ein Feld für mathematische Tätigkeiten öffnet, die zuvor in diesem Kontext nicht denkbar waren.

Dorothee Dahl „Und dann verschieben wir den Eckpunkt einfach auf die andere Seite der Spiegelachse ..." Auf der Suche nach Grundvorstellungen zu Kongruenzabbildungen
Zahlreiche Lernende zeigen große Schwierigkeiten mit abbildungsgeometrischen Inhalten, wie in Studien, z. B. TIMSS, deutlich wird. Um diesen Verständnisschwierigkeiten entsprechend zu begegnen, kann die Ausbildung von adäquaten (Grund-)Vorstellungen hilfreich sein. Hierzu soll ein möglicher Zugang präsentiert werden. Gemäß dem Tagungsthema werden dabei die innermathematischen Beziehungen zu anderen Sachgebieten wie Analysis oder Algebra fokussiert. So werden Aspekte von Kongruenzabbildungen, insbesondere als Gruppe und als Funktionen mit Definitions- und Wertebereich, hervorgehoben und daran erste Erkenntnisse diskutiert.

Wilfried Dutkowski Archimedische Körper und ihre dynamischen Konstruktionen  - Geometrie attraktiv
Archimedische Polyeder sind nicht nur elementare, sondern auch schon sehr vielfältige Körper, die nicht nur in der Raumgeometrie, sondern auch in Kunst und Kristallographie eine wichtige Rolle spielen und durch ihre Form und Anmut mathematisch interessierte Menschen in ihren Bann schlagen. Das ästhetische Buch von Adam und Wyss aus dem Jahr 1984 bildet die Grundlage und Leitidee, um die Faszination und Schönheit dieser Körpergruppe für die Zielgruppe der Sekundarstufe I attraktiv aufzubereiten.
Man kann sie schon sehr früh und relativ einfach mit entsprechenden Polygonplättchen (Klickies) bauen. Dabei erhält man statische, starre Polyeder. Mit dynamischer Raumgeometrie wie GeoGebra 3D lassen sie sich aber auch dynamisch konstruieren. Dabei werden aus (virtuellen) Platonischen Körpern als Grundkörper durch das gleichmäßige Abschneiden von Ecken neue Körper erzeugt, die dann auch im Zugmodus dynamisch verändert werden können. Alternativ werden Schnittkörper von Durchdringungen zweier Polyeder konstruiert. Daraus resultieren dann oft auch deren Namen wie z.B. das Kuboktaeder, das aus einem Würfel entsteht, oder das Rhombenkuboktaeder als Grundkörper des bekannten Herrnhuter Sterns. 
Obwohl diese Grundideen einfach zu verstehen sind, stellte sich bei der Umsetzung jedoch schnell heraus, dass die Idee, einer schnellen dynamischen Umsetzung im virtuellen Handlungsraum nicht so leicht umsetzbar war, wie zunächst angenommen. Insbesondere die Archimedischen Körper, die nicht durch Abschneiden der Ecken entstehen, sondern durch eine so genannte Kantenrektifikation, bzw. durch die dynamische Veränderung seines Dualkörpers, stellten eine große Herausforderung dar, die jedoch erfolgreich gemeistert werden konnte. Im Vortrag werden alle 15 Archimedischen Polyeder dynamisch konstruiert und die Schwierigkeiten und Tücken des konstruktiven Vorgehens mit Hilfe von GeoGebra aufgezeigt. Der Vortrag erfolgt anhand eines GeoGebra Books. 

Hans-Jürgen Elschenbroich  Kugel im Flächenland
Im Roman Flächenland (Original: Flatland) von E. A. Abbott (1884) wird das Leben im Flächenland beschrieben. Natürlich ist die Rollenzuweisung geprägt vom England Ende des 19. Jahrhunderts. 
Dies wird hier aber nicht weiter thematisiert, sondern es geht darum, wie der Protagonist (‚ein altes Quadrat‘) das erschreckliche Auftauchen einer Kugel und ihren Weg durchs Flächenland erst mal verständnislos erleidet und dann schrittweise versteht.
Dies wird nun mit den Werkzeugen von GeoGebra modelliert und visualisiert und der Bezug zu verschiedenen Geometrien hergestellt.

Günter Graumann Erzeugung von flächenmaßtreuen affinen Abbildungen durch Schrägspiegelungen
Ähnlich wie die Menge aller Achsenspiegelungen der Ebene ein Erzeugenden­system für alle kongruenten Abbildungen der Ebene darstellt, bildet die Menge aller Schrägspiegelungen ein Erzeugendensystem für alle flächenmaßtreuen affinen Abbildungen der Ebene. Ausgehend von diesen algebraisch orientierten Überlegungen wird man beim Klären und Beweisen direkt in die Elementargeometrie geführt.  
Dazu wird zunächst gezeigt, dass jede affine flächenmaßtreue Abbildung der Ebene durch ein Paar Dreieck-Bilddreieck mit gleichem Flächenmaß eindeutig festgelegt werden kann. Und es wird gezeigt, dass jede Schrägspiegelung eine flächenmaßtreue Abbildung der Ebene ist. Weiterhin ergibt sich, dass jede Scherung als Hintereinanderausführung zweier Schrägspiegelungen dargestellt werden kann. Schließlich wird gezeigt, wie man ein beliebiges Dreieck in ein anderes Dreieck mit gleichem Flächenmaß durch Kombination von Schrägspiegelungen überführen kann.

Mathias Hattermann Zur Problematik des Übergangs von der 2D- zur 3D-Geometrie
In einer qualitativen Untersuchung konnte sogar bei Lernenden im Hochschulbereich konstatiert werden, dass aus der Ebene aufgebaute Vorstellungen zur Lotgeraden oder zum Kreis relativ unreflektiert und fälschlicherweise auf die 3D Umgebung übertragen werden. Diese Übergeneralisierung führt bisweilen dazu, dass Lernende ihre Werkzeugkompetenz im Umgang mit einer 3D-Software infrage stellen, obwohl das eigentliche Problem bei mangelnden konzeptuellen Vorstellungen der Lernenden in Bezug auf 3D-Objekte bzw. 3D-Konzepte zu suchen ist. Im Vortrag wird basierend auf der Theorie der Grundvorstellungen das Konzept der dimensionserhaltenden bzw. der dimensionserweiternden Objektübertragung in den Raum diskutiert, dessen Anwendung einen hilfreichen Ausgangspunkt zur Problematisierung von Konzepten beim 2D-3D-Übergang liefert.

Henning Heller Kantenhöhen beim Tetraeder – aufbauend auf Heinz Schumanns Elementarer Tetraedergeometrie.
Das Tetraeder erlaubt zwei Sorten von Höhen: Die Seitenhöhen sind die vier Lote von den Eckpunkten auf die gegenüberliegenden Seitenflächen, die Kantenhöhen sind die drei gemeinsamen Lote jeweils gegenüberliegender Kanten. Anders als beim Dreieck schneiden sich im allgemeinen Tetraeder weder die Seiten- noch die Kantenhöhen. Es gibt jedoch eine umfangreiche Theorie für Tetraeder mit Seitenhöhenschnittpunkten. In diesem Vortrag wird erstmalig eine Klassifikation der Tetraeder nach Kantenschnittpunkten angestrebt. Dabei wird gezeigt, wann sich zwei Kantenhöhen schneiden, und dass es drei Typen von Tetraedern mit einem Schnittpunkt aller drei Kantenhöhen gibt.

Hartmut Müller-Sommer Zur räumlichen Satzgruppe des Pythagoras
In diesem Beitrag stellt die Quaderecke zusammen mit dem Flächensatz von Faulhaber den Ausgangspunkt dar. Die weitere inhaltliche Ausrichtung ist jedoch eine andere als beim Vortrag von Hans-Jürgen Elschenbroich aus dem Vorjahr. Der Satz von Faulhaber kann als räumliches Analogon des Satzes von Pythagoras aufgefasst werden. Bei seinem Beweis wird in der Literatur zumeist auf die Flächenformel von Heron oder auf die Methoden der Vektorgeometrie zurückgegriffen.
Ein Blick auf die „innere“ Geometrie der Quaderecke führt mit den Mitteln der Sekundarstufe I zu einfachen Beweisen des Flächensatzes und zur Entwicklung der räumlichen Analoga zu den ebenen Kathetensätzen und zum ebenen Höhensatz. Diese räumlichen Sätze können zur Überraschung des Autors in einer Art Rückführung als neue Sätze der Ebene über produktgleiche Flächeninhalte gedeutet werden.

Matthias Müller Pólya`s Universalstöpsel: Mit 3D-Druck mehrere Körpermodelle erstellen und vergleichen
(Vortrag über eine gemeinsame Arbeit mit Benjamin Weissing und Pascal Lütscher)
Die Beschäftigung mit einem faszinierenden geometrischen Problem zur Erstellung eines dreidimensionalen Körpermodells lässt sich bis ins 18. Jahrhundert zurückverfolgen. In einer sehr einfachen Formulierung des Problems ist ein Körper gesucht, der eine kreisförmige Grundfläche hat, von einer Seite wie ein Dreieck und von der anderen Seite wie ein Quadrat aussieht. Die Attraktivität des Problems hat im Laufe der Jahre nicht abgenommen; Mathematiker und Mathematikdidaktiker beschäftigen sich immer noch mit ähnlichen oder leicht modifizierten Versionen davon.
Peter Friedrich Catel war der erste, der das Problem 1790 in seinem Buch „Mathematisches und physikalisches Kunst-Cabinet“ beschrieb. Trotz der im genannten Buch beschriebenen Lösung griff der ungarische Mathematiker George Pólya das Problem im Jahr 1966 erneut auf. Er bezeichnete den gesuchten Körper als Universalstöpsel. Im Vortrag folgen wir der Beschreibung des Problems nach Pólya. Bekannterweise gibt es, entgegen der ersten Vermutung aufgrund des Namens, keine eindeutige Lösung.
Im Vortrag werden mehrere Körper vorgestellt, die die beschriebenen Bedingungen erfüllen. Unter der Annahme, dass wir uns auf konvexe Körper beschränken, können diese nach dem Volumen geordnet werden. Somit kann ein Körper mit minimalem Volumen und ein Körper mit maximalem Volumen gefunden werden, die als Grenzen eines Kontinuums betrachtet werden können, innerhalb dessen alle konvexen Lösungen liegen.
Die Ansätze zur Volumenbestimmung der Körper können durch die Erstellung von Modellen mit unterschiedlichen Methoden veranschaulicht werden. 3D-Druck ist ein geeigneter Ansatz, um unterschiedliche Körpermodelle zu erstellen. In unserem Beitrag beschreiben wir verschiedene Ansätze zur Modellierung unterschiedlicher Körpermodelle und vergleichen Vorteile der verschiedenen Methoden vor dem Hintergrund geeigneter Lernumgebungen für Lernende unterschiedlichen Alters.

Bodo v. Pape Die Geometrie als Mutter der Algebra: Kubische Gleichungen
Exaktheit in den Ergebnissen, das war seit der Antike das Privileg der Geometrie. Gleichungen, in denen es um die Bestimmung einer Größe geht, brachten erst die "Cossisten" zur Zeit von Adam Riese ins Spiel. Cardano weiß, dass seine "regulae" für kubische Gleichungen nur Näherungen liefern. Im Hintergrund geht es bei ihm immer um das Zusammensetzen von Quadern zu einem Würfel.
Im Orient ist das Thema "exaktes Lösen kubischer Gleichungen" derweil längst umfassend bearbeitet. Der Perser Omar Chayyam hatte um 1150 einen vollständigen Katalog mit 21 Typen vorgelegt. Dabei beschränkte er sich auf Parabeln und Hyperbeln. Im Hintergrund steht jeweils die Verschmelzung von Quadern zu einem Würfel.
Im Abendland greift Descartes die geometrische Herangehensweise der Antike auf. Er kommt allein mit Kreis und Parabel zum Ziel. In seiner Nachfolge werden neue einfache Kurven vorgestellt, die exakte geometrische Lösungen ermöglichen.
Um 1870 ist der Bereich der Zahlen so erweitert, dass man auf die Geometrie in diesem Bereich verzichten kann. Für das Lösen von Gleichungen hatten sich in der Zwischenzeit ohnehin numerische Verfahren durchgesetzt.
Die Algebra hatte sich bereits bei Descartes als eine unverzichtbaren Stütze der Geometrie von erwiesen. Die Geringschätzung des Unexakten aber hat noch länger geführt, dass die Trigonometrie sich im Abendland erst sehr spät und als ungeliebtes Stiefkind entwickeln konnte.

Marc Sauerwein Tätigkeitstheoretische Aspekte des Werkzeuggebrauchs im Geometrieunterricht
Aus vielerlei Gründen gelten Zirkel und Lineal seit Euklids Elementen zu den klassischen Konstruktionswerkzeugen der Geometrie. Deren Einsatz entkoppelt sich mit zunehmender Erfahrung von den unmittelbaren Konstruktionshandlungen mit Zirkel und Lineal, nachdem erste Standardkonstruktionen wie Lot fällen, Parallele zeichnen, o.ä. als durchführbar erkannt worden sind. Wenn diesem Entkopplungsprozess im Geometrieunterricht nicht Raum gelassen wird, läuft dieser Gefahr, dass die Schülerinnen und Schüler die zugrunde liegenden Strukturen nicht erkennen und einzelne Standardkonstruktionen nicht sinnvoll und beziehungshaltig zur Lösung geometrischer Fragen einsetzen können.
Der Vortrag möchte deshalb vor diesem Abstraktionsprozess ansetzen und den Fokus auf verschiedene Konstruktionsverfahren (auch mit verschiedenen Werkzeugen) legen und aufzeigen, wie die jeweilige Konstruktion die Sichtweise auf das geometrische Objekt formt. Das Zusammenspiel verschiedener Konstruktionsverfahren im Geometrieunterricht kann Anlässe schaffen, die sowohl für die Begriffs- als auch für die Sprachentwicklung (im Sinne einer Werkstattsprache nach Heinrich Winter) im Geometrieunterricht zuträglich sein können.

Heinz Schumann Über räumliche Sechsecke
Bekanntlich haben ebene Figuren i. A. zwei Analoga im dreidimensionalen euklidischen Raum. Z. B. hat das ebene einfach geschlossene n-Eck als räumliche Entsprechungen das räumliche n-Eck als geschlossenen räumlichen Streckenzug und das (konvexe) n-eckige Polyeder. Es ergeben sich folgende interessante Existenz- und Vollständigkeitsprobleme: Welche regelmäßigen räumlichen n-Ecke gibt es? - Welche Typen topologisch äquivalenter n-eckiger Polyeder existieren. Für n = 6 werden im Vortrag Problemlösungen behandelt.

Hans Walser Zwei Flächensätze
Es werden zwei dem Autor bis anhin unbekannte Flächensätze im Umfeld des recht-winkligen Dreieckes besprochen. Dabei spielen der Inkreis und der Flächeninhalt des Dreieckes eine zentrale Rolle. Die Beweise sind mit Methoden der Sekundarstufe 1 durchführbar. Es ergibt sich ein Link zum Goldenen Schnitt. 

Zeitplan (Stand 17.08.2024) - zur alphabetischen Vortragsliste

Die Tagung beginnt wegen der zahlreichen Vortragsanmeldungen dieses Jahr bereits um 16 Uhr,

Organisatorisches

Die Tagung findet an der Universität des Saarlandes in Saarbrücken statt. Die Unterbringung erfolgt in der Fussballschule, die am Rand des Campus gelegen ist. Tagungsbeginn ist Freitag um 16:00 Uhr in der Fachrichtung Mathematik; dort erhalten Sie auch die Schlüssel für die Gästezimmer in der Fussballschule. Gemeinsames Abendessen ist im Anschluss daran um 18 Uhr in der Sportschule. Tagungsende ist Sonntag um 13 Uhr.

Die Tagungsgebühr beträgt 200 € incl. 2 Übernachtungen in der Fussballschule und allen Mahlzeiten in der Sportschule, bzw. 125 € ohne Übernachtungen und Frühstück. Sie ist zu überweisen an:

Kontoinhaber: Prof. Dr. Andreas Filler 
Kontonr.: 0277594115 
Kreditinstitut: Postbank Berlin
Bankleitzahl: 10010010 
IBAN: DE63 1001 0010 0277 5941 15 
BIC: PBNKDEFF

Am Freitagabend findet ein Gesellschaftsabend mit französischem Wein, Bier und Knabbereien an der Uni statt (in der Tagungsgebühr eingeschlossen); am Samstagabend können wir gemeinsam in einem Restaurant mit französischer Küche essen (nicht in der Tagungsgebühr eingeschlossen) - Näheres wird noch bekannt gegeben.

Die Anmeldung erfolgt (bitte bis Ende Juli - solange haben wir Zimmer stornofrei reserviert) per Mail an Frau Mißler: Diese E-Mail-Adresse ist vor Spambots geschützt! Zur Anzeige muss JavaScript eingeschaltet sein.

Angemeldete Teilnehmende (Stand 17.08.2024)

1. Stephan Berendonk (Wuppertal)
2. Dorothee Dahl (Potsdam)
3. Wilfried Dutkowski (Bonn)
4. Hans-Jürgen Elschenbroich (Korschenbroich)
5. Andreas Filler (Berlin)
6. Günter Graumann (Bielefeld)
7. Dörte Haftendorn (Lüneburg)
8. Mathias Hattermann (Braunschweig)
9. Henning Heller (Bonn)
10. Edmond Jurczek (Zug, Schweiz)
11. Rainer Kaenders (Bonn)
12. Peter Kaiser (Karlsruhe)
13. Sebastian Kitz (Wuppertal)
14. Anselm Lambert (Saarbrücken)
15. Matthias Müller (Graubünden, Schweiz)
16. Hartmut Müller-Sommer (Vechta)
17. Rolf Neveling (Wuppertal)
18. Verena Rembowski (Göttingen)
19. Marc Sauerwein (Bonn)
20. Manfred Schmelzer (Regensburg)
21. Heinz Schumann (Weingarten)
22. Marie-Christine von der Bank (Saarbrücken)
23. Bodo v. Pape (Oldenburg)
24. Hans Walser (Frauenfeld, Schweiz)
25. Katharina Wagner (Saarbrücken)
26. Ysette Weiss (Mainz)
27. Robert Wengel (Wuppertal)
28. Katharina Wilhelm (Saarbrücken)
29. Klaus P. Wolff (Wörth)