Tagung des GDM-Arbeitskreises Geometrie 2018

Saarbrücken, 14.-16. September 2018

Einladung

Liebe Freundinnen und Freunde der Geometrie,

hiermit laden wir Sie zur 35. Herbsttagung des Arbeitskreises Geometrie vom 14.09.2018 - 16.09.2018 in Saarbrücken ein.

Unser Tagungsthema lautet

Geometriedidaktik zwischen Geometrie und Didaktik

Diskutieren wollen wir dabei insbesondere folgende Fragen:

• Wie viel Geometrie braucht der Mensch?
• Welche Geometrie braucht der Mensch?
• Wie viel Mensch braucht die Geometrie?

Hauptvortrag

Wilfried Herget (Universität Halle-Wittenberg)

Was ich in Geometrie unterrichten würde?!

Das Vortragsfragezeichen möchte ich beispielhaft durch viele kleine Unterrichtsideen beantworten. Doch ganz ohne Ausrufezeichen – denn es handelt sich um meine sehr persönliche Sicht auf den Mathematikunterricht.

Ich hoffe, dass diese Ideen anregen – zu vielen kleinen Fragezeichen, ganz im Sinne der drei Tagungsfragen.

Angemeldete Vorträge

Stephan Berendonk
Und täglich grüßt der Kosinussatz
Stellen wir uns vor, wir müssten ein ganzes Jahr jeden Tag einen anderen Beweis vom Kosinussatz vorlegen. Denkbar wäre das schon. Schließlich enthält das Buch von Elisha Loomis angeblich 370 verschiedene Beweise des Satzes des Pythagoras. Wir könnten versuchen täglich einen dieser Beweise auch für die nicht-rechtwinkligen Dreiecke nutzbar zu machen und würden damit - im Falle des Erfolges - Zeugnis für die im Mathematikunterricht vernachlässigte entdeckende Wirkung von Beweisen ablegen. Häufig dürfte es dabei zu Diskussionen kommen, ob zwei vorgelegte Beweise tatsächlich als verschieden gelten können oder, ob sie nur als unterschiedliche Varianten des gleichen Beweises zu betrachten sind. Die Vielzahl der gemeinsam bearbeiteten Beweise sensibilisierten uns für die Ästhetik der verschiedenen Beweisfiguren, ihrer Hilfslinien und Symmetrien. Es käme zu Gesprächen über die Frage nach dem schnellsten, elementarsten, überraschendsten, visuellsten, tiefsten, verständlichsten und schönsten Beweis. Im Vortrag werden wir gemeinsam in dieses Szenario eintauchen.

Heinrich Bubeck
Beispiele von Packungen und Packungsdichten gleichartiger Platonischer Körper

Was hier unter Packungen verstanden wird könnte man etwa so erklären: Eine Anzahl von Körpern, die einander so berühren – aber nicht durchdringen – dass es von jedem dieser Körper eine „Berührungskette“ gibt zu jedem beliebigen anderen dieser Körper. Bekannt sind Packungen kongruenter Kugeln (auch als Spielzeug mit kleinen magnetischen Kugeln). Bei Kugeln gibt es nur die punktuelle Berührung. Bei Polyedern A und B existieren 3 Arten von Berührungen:
Punktuelle Berührungen:

• Eckpunkt von A auf Eckpunkt von B
• Eckpunkt von A auf Kante  oder Seitenfläche von B
• Kante von A schneidet Kante von B.

Lineare Berührungen:    

• Kante von A und Kante von B haben eine gemeinsame Strecke
• Kante von A liegt in einer Seitenfläche von B.

Flächige Berührung:      

• Seitenfläche von A und Seitenfläche von B haben ein gemeinsames Flächenstück.

Zur Packung gehört auch die Verpackung: ein großes Polyeder,  in dessen Innerem die ganze Anzahl von Polyedern eingeschlossen ist.
Nun ist eine Packung nicht einfach eine beliebige Aneinanderkettung von Polyedern. Schon die Wahl der hochsymmetrischen Platonischen Körper als Bauteile legt nahe, dass Anzahl, Anordnung, Bauregeln, Eigenschaften der Einzelpolyeder und auch der Verpackung aufeinander abgestimmt sein müssen, so dass ein abgeschlossenes, möglichst übersichtliches Gebilde entsteht. Beispiele werden im Vortrag durch Zeichnungen und räumliche Modelle vorgestellt und erläutert.
Beim Bau der Modelle (häufig Kantenmodelle) müssen oft und können auch andere Gesichtspunkte beachtet werden, z. B. ihre Statik. Nicht immer genügen allein die vorgesehenen Polyeder, also Tetraeder, Oktaeder …. und ihre Berührungen für die sichere Stabilität der Packung. Es müssen dann geeignete Verbindungs- und Stützstreben eingesetzt werden; welche, das ist dem Konstrukteur überlassen und biete ihm ein wenig Freiheit bei der Gestaltung der Packungen. Oder in dem Modell sind Teile von anderen Polyedern bzw. Polygonen sichtbar, dann können diese durch zusätzliche Bauteile vervollständigt werden.
Im ersten Teil des Vortrags werden Packungen vorgestellt, bei denen die Form der einzelnen Polyeder mit der Form der Verpackung übereinstimmt; also z. B. kleine Tetraeder in einem größeren. Das bringt Verteile bei der Konstruktion und bei den Berechnungen ( ein kleines Tetraeder passt lückenlos in die Ecke eines großen oder auch in dessen Kante).
Im zweiten Teil werden Packungen vorgestellt, die durch Stapelungen der Polyeder erzeugt werden. Stapelungen sind Translationen und die Ergebnisse sind daher periodisch- symmetrisch und in mindestens einer Richtung unendlich, also z. B. ein unendliches Prisma oder eine Raumschicht zwischen 2 parallelen Ebenen oder der ganze dreidimensionale Raum.
Zur Berechnung der Packungsdichte muss man dann z. B. aus der Parallelschicht solche Bereiche ausschneiden, die nicht nur in ihrer Außenform, sondern auch in der Zerlegung durch die Einzelpolyeder kongruent sind und durch Aneinanderlegen die ganze Schicht lückenlos ausfüllen (z. B. Elementarzellen). Die Packungsdichte dieses Bereichs ist die  Packungsdichte  der Parallelschicht.

Stephanie Gleich
Zu kreativen Aspekten beim Lösen von Konstruktionsproblemen
Durch Variation (vgl. Schupp) bekannter Aufgabenstellungen ist ein neuer Aufgabentyp zu Dreieckskonstruktionen entstanden, dessen Problemstellungen als Übungsfeld zum Mathematik Betreiben, im Sinne von Finden, Lösen und Weiterentwickeln von Problemen dienen können.
Im Vortrag werden kreative Aspekte, die diesen Prozess begünstigen an einer exemplarischen Bearbeitung verdeutlicht.

Edmond Jurczek
Wie möglich ist in der Geometrie ein Beweisen durch Messen?
Wo gemessen wird gibt es Messfehler; so gesehen scheint ein strenges Beweisen durch Messen in der Geometrie schlicht unmöglich zu sein. Dennoch wird gezeigt, dass der Schein trügt! Das historische
Schlüsselbeispiel stammt aus dem Gebiet der Differentialgeometrie und zieht sich hin zur Messung der Raumkrümmung im Rahmen der Allgemeinen Relativitätstheorie. Behandelt werden im Referat konkret auch Messungen zur Überprüfung der Theorie der Gravitationswellen, namentlich die aktuellen Messungen aus dem Jahr 2016 mit ihren extrem hohen Anforderungen an die geometrische Messgenauigkeit. Zudem enthält dieser Beitrag auch einige wissenschaftsgeschichtliche Leckerbissen.

Stefan-Harald Kaufmann
Die Entwicklung dynamischer Vorstellungen zu vektoriellen Geradenbeschreibungen

Die analytische Geometrie und lineare Algebra gehört zu einem der drei großen mathematischen Inhaltsfelder der gymnasialen Oberstufe. Ein zentrales Ziel der Analytischen Geometrie ist die Beschreibung und Untersuchung geometrischer Sachverhalte mit Vektoren.
Im Rahmen einer qualitativen Studie wird unter anderem untersucht, inwieweit Schülerinnen und Schüler  dynamische Vorstellungen zuVektorgleichungen als Geradenbeschreibung entwickeln. Anhand der Ergebnisse wurde eine Unterrichtseinheit entwickelt, bei der die Betrachtung einer Geraden als Ortslinie eines sich bewegenden Punktes thematisiert und gefördert wird.
Der Beitrag konzentriert sich auf daher zwei Fragen:
1.    Inwieweit deuten die Schülerinnen und Schüler eine Vektorgleichung dynamisch?
2.    Wie kann eine mögliche Unterrichtsstunde zur Thematisierung dynamischer Interpretationen mit Hilfe einer Sachaufgabe aus dem Gebiet der Vektorrechnung angelegt sein?
Link zum Vortrag (PDF-Datei)

Andreas Kirsche
Winkelblicke - Sachanalyse ausgewählter Funktionsaspekte von Winkeln und Vorschläge für den Geometrieunterricht
Der Winkelbegriff ist eng verbunden mit verschiedenen Winkelvorstellungen. Etzold betont dabei die Vorstellungen von Krainer, (vgl. Krainer 1989): Winkel als Knick, Winkel als Feld, Winkel als Richtungsänderung sowie Winkel als Überdrehung (vgl. Etzold 2015).
Neben diesen Winkelvorstellungen erscheint mir die Betrachtung des Winkels in Bezug auf seine Funktionen im Sinne von Anwendungsgebieten sinnvoll. So untersuche ich Winkel als geometrische Objekte zur Beschreibung geometrischer Figuren, als Messgröße beim Vergleich verschiedener Winkel, als Relation bei der Betrachtung von Lagebeziehungen von Geraden sowie als Operation bei der kinematischen Betrachtung von Drehungen.
Das Wirken von Winkeln ist eng mit den zuvor genannten Winkelvorstellungen verbunden. Die Betrachtung der Funktionsweise eröffnet jedoch weitere mögliche Zugänge zum Winkelbegriff. Im Vortrag möchte ich speziell die Funktion der Relation betrachten, welche zu einer Art Erweiterung des Abstandsbegriff führt. Ein mögliches Unterrichtskonzept stelle ich zur Diskussion.
Link zum Vortrag (PDF-Datei)

Hartmut Müller-Sommer
Erkenntnisgewinn durch Perspektivwechsel
An zwei Beispielen möchte ich aufzeigen, wie ein Perspektivwechsel zu neuen Einsichten und Entdeckungen führen kann. Ausgangspunkt des ersten Beispiels ist die geometrische Situation zur Erzeugung der Wallace-Geraden eines Punktes auf dem Umkreis eines Dreiecks. Bringt man den Höhenschnittpunkt und die Höhen des Dreiecks mit ins Spiel, so führt ein Perspektivwechsel jeweils zu einer Verallgemeinerung der Wallace-Geraden und des Feuerbach-Kreises.
Im zweiten Beispiel wird die Pellsche Gleichung  x^2-dy^2=1 in den Blick genommen. Sie hat in der Geschichte der Zahlentheorie eine ganz besondere Bedeutung. Eine Veränderung der Perspektive auf die Lösungen dieser Gleichung führt zu einer (vielleicht neuen) geometrischen Interpretation dieser Lösungen und deckt überraschende Zusammenhänge zum Dreieckssatz von Stewart und zum Kreis des Apollonius auf.

Heinz Schumann
Über regelmäßige räumliche Polygone
Die Theorie räumlicher Polygone, insbesondere die der regelmäßigen räumlichen Polygone, ist als Bestandteil der räumlichen Formenkunde wenig entwickelt. Mittels Dynamischer Raumgeometrie-Systeme ergeben sich für einzelne solcher Polygone elementargeometrische Explorations-möglichkeiten, die u. a. auch in der Simulation physisch vorstellbarer Handlungen bestehen. Am Beispiel der regelmäßigen räumlichen Sechsecke soll das ausgeführt werden. Die Untersuchung mündet in die Konstruktion dieser Polyeder und deren Vollständigkeitsnachweis. Die Arbeit endet mit einem Ausblick auf regelmäßige räumliche Polygone höherer Eckenanzahl.

Klaus Volkert
Wilhelm Fiedler: darstellende Geometrie und Pflege der Anschauung
In meinem Vortrag werde ich zuerst Wlhelm Fiedler (1832 - 1912) und sein Werk vorstellen. Darin spielt die darstellende Geometrie und damit verbunden die Förderung der Anschauung eine wichtige Rolle, aber auch die Frage der Nützlichkeit der Geometrie kommt zur Sprache. Schließlich möchte ich auf eine wenig bekannte Erfindung Fiedlers, die Zyklographie, eingehen und zeigen, dass diese viele interessante Aspekte - auch für den Geometrieunterricht - eröffnet.

Hans Walser
Umkehrung
Die Umkehrung einer klassischen Aufgabe führt zu interessanten, dem Autor bislang unbekannten Einsichten.
Link zum Vortrag

Zeitplan (Entwurfsstand 07.09.2018)

Für die Vorträge sind jeweils 25 min vorgesehen, für die anschließende Diskussion 15 min.

Freitag

Samstag

Sonntag

Organisatorisches

Die Tagung findet an der Universität des Saarlandes in Saarbrücken statt; die Unterbringung erfolgt in der Hermann Neuberger Sportschule, die am Rand des Campus gelegen ist. Tagungsbeginn ist Freitag um 18 Uhr mit einem gemeinsamen Abendessen. Die Zimmer können ab 17:30 Uhr bezogen werden.Tagungsende ist Sonntag um 13 Uhr.

Die Tagungsgebühr beträgt 200 € incl. 2 Übernachtungen im LSVS-Gästehaus (Landessportverband) und allen Mahlzeiten in der Sportschule, bzw. 125 € ohne Übernachtungen und Frühstück. Sie ist zu überweisen an:

Kontoinhaber: Prof. Dr. Andreas Filler
Kontonr.: 0277594115
Kreditinstitut: Postbank Berlin
Bankleitzahl: 10010010
IBAN: DE63 1001 0010 0277 5941 15
BIC: PBNKDEFF

Am Freitagabend findet ein Gesellschaftsabend mit französischem Wein, Bier und Knabbereien an der Uni statt (in der Tagungsgebühr eingeschlossen); am Samstagabend können wir gemeinsam essen (nicht in der Tagungsgebühr eingeschlossen) - Näheres wird noch bekannt gegeben.

Die Anmeldung erfolgt per Mail an Frau Mißler:  Diese E-Mail-Adresse ist vor Spambots geschützt! Zur Anzeige muss JavaScript eingeschaltet sein.. Teilen Sie darin bitte auch mit, ob Sie einen Vortrag planen. Wie gemeinsam beschlossen und in den letzten Jahren erfolgreich praktiziert sollen die Vortragenden ausführlichere Kurzfassungen von 4-8 Seiten rechtzeitig, d.h. bis spätestens Ende August einreichen (ebenfalls per Mail an Frau Mißler:  Diese E-Mail-Adresse ist vor Spambots geschützt! Zur Anzeige muss JavaScript eingeschaltet sein.). Auf diese bewährte Weise soll eine tiefere Diskussion ermöglicht werden. Aus diesen nach der Tagung überarbeiteten, weiter ausgeführten und aufeinander abgestimmten Beiträgen soll wieder ein Tagungsband erstellt werden.

Angemeldete Teilnehmende (Stand 03.09.2018)

1. Stephan Berendonk (Bonn)
2. Irmtraud Beyer (Langen)
3. Heinrich Bubeck (Weingarten)
4. Hans-Jürgen Elschenbroich (Düsseldorf)
5. Andreas Filler (Berlin)
6. Katharina Gaab (Saarlouis)
7. Stephanie Gleich (Nürnberg)
8. Dörte Haftendorn (Lüneburg)
9. Hans-Wolfgang Henn (Dortmund)
10. Wilfried Herget (Halle-Wittenberg)
11. Edmond Jurczek (Zug)
12. Rainer Kaenders (Bonn)
13. Stefan-Harald Kaufmann (Soest)
14. Andreas Kirsche (Erfurt)
15. Sebastian Kitz (Wuppertal)
16. Anselm Lambert (Saarbrücken)
17. Jonas Lotz (Saarbrücken)
18. Hartmut Müller-Sommer (Vechta)
19. Manfred Schmelzer (Straubing)
20. Heinz Schumann (Weingarten)
21. Klaus Volkert (Wuppertal)
22. Thomas Wainer (Saarbrücken)
23. Hans Walser (Frauenfeld)
24. Ysette Weiss (Mainz)
25. Robert Wengel (Wuppertal)
26. Katharina Wilhelm (Saarlouis)
27. Klaus-Peter Wolff (Wörth)
28. Antonia Zeimetz (Offenbach)